Номер 2.47, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.47. Докажите, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона, а против большей стороны – больший угол.

Данная задача состоит из двух частей: прямого и обратного утверждения. Докажем оба.

В треугольнике против большего угла лежит большая сторона

Пусть в треугольнике $ABC$ угол $B$ больше угла $C$, то есть $\angle B > \angle C$. Докажем, что сторона $AC$, лежащая против угла $B$, больше стороны $AB$, лежащей против угла $C$. То есть, нам нужно доказать, что $AC > AB$.

Отложим от луча $BC$ угол $DBC$, который равен углу $C$, таким образом, чтобы луч $BD$ находился внутри угла $ABC$. Так как по условию $\angle B > \angle C$, такой луч существует, и он пересечет сторону $AC$ в некоторой точке $D$.

Рассмотрим треугольник $BDC$. По построению, в этом треугольнике два угла равны: $\angle DBC = \angle C$. Это означает, что треугольник $BDC$ является равнобедренным с основанием $BC$. Следовательно, его боковые стороны равны: $BD = DC$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABD$. По теореме о неравенстве треугольника, сумма длин двух любых его сторон больше длины третьей стороны. Применительно к нашему случаю, это означает, что $AD + BD > AB$.

В полученном неравенстве заменим отрезок $BD$ на равный ему отрезок $DC$, что мы можем сделать на основании предыдущего шага. Получаем: $AD + DC > AB$.

Так как точка $D$ лежит на стороне $AC$, сумма длин отрезков $AD$ и $DC$ равна длине стороны $AC$, то есть $AD + DC = AC$.

Подставив это в наше неравенство, получаем итоговый результат: $AC > AB$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что в треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

Против большей стороны — больший угол

Теперь докажем обратное утверждение. Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AC$ больше стороны $AB$, то есть $AC > AB$. Докажем, что угол $B$, лежащий напротив стороны $AC$, больше угла $C$, лежащего напротив стороны $AB$. То есть, нам нужно доказать, что $\angle B > \angle C$.

На большей стороне $AC$ отложим от вершины $A$ отрезок $AD$, равный по длине меньшей стороне $AB$. Так как $AC > AB$, точка $D$ будет лежать между точками $A$ и $C$.

Соединим точки $B$ и $D$. В образовавшемся треугольнике $ABD$ стороны $AB$ и $AD$ равны по построению ($AB = AD$). Следовательно, треугольник $ABD$ является равнобедренным, а значит, углы при его основании $BD$ равны: $\angle ABD = \angle ADB$.

Угол $\angle ADB$ является внешним для треугольника $BDC$. По свойству внешнего угла, он равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним: $\angle ADB = \angle C + \angle DBC$.

Поскольку $\angle DBC$ — это угол треугольника, его градусная мера положительна ($\angle DBC > 0$). Отсюда следует, что $\angle ADB > \angle C$.

Так как мы ранее установили, что $\angle ABD = \angle ADB$, то мы можем утверждать, что и $\angle ABD > \angle C$.

Весь угол $B$ (то есть $\angle ABC$) состоит из суммы двух углов: $\angle B = \angle ABD + \angle DBC$. Поскольку $\angle DBC > 0$, очевидно, что $\angle B > \angle ABD$.

Теперь мы имеем два неравенства: $\angle B > \angle ABD$ и $\angle ABD > \angle C$. По свойству транзитивности неравенств из этого следует, что $\angle B > \angle C$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Доказано, что в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.