Номер 2.49, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.49. Докажите, что равнобедренные треугольники равны, если равны их основания и высоты, проведенные к основаниям.

Дано:

Рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с основанием $AC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ с основанием $A_1C_1$.

В $\triangle ABC$ боковые стороны $AB = BC$. $BH$ — высота, проведенная к основанию $AC$.

В $\triangle A_1B_1C_1$ боковые стороны $A_1B_1 = B_1C_1$. $B_1H_1$ — высота, проведенная к основанию $A_1C_1$.

По условию задачи, основания треугольников равны ($AC = A_1C_1$) и высоты, проведенные к основаниям, также равны ($BH = B_1H_1$).

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

1. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как $BH$ — высота к основанию $AC$, она также является медианой. Это означает, что точка $H$ — середина отрезка $AC$, и, следовательно, $AH = HC = \frac{1}{2} AC$. Кроме того, по определению высоты, $BH \perp AC$, поэтому $\triangle ABH$ — прямоугольный с прямым углом $\angle BHA = 90^\circ$.

2. Аналогично для $\triangle A_1B_1C_1$. Высота $B_1H_1$ к основанию $A_1C_1$ является и медианой. Поэтому $H_1$ — середина основания $A_1C_1$, и $A_1H_1 = H_1C_1 = \frac{1}{2} A_1C_1$. Треугольник $\triangle A_1B_1H_1$ также является прямоугольным с прямым углом $\angle B_1H_1A_1 = 90^\circ$.

3. Сравним катеты $AH$ и $A_1H_1$. По условию нам дано, что $AC = A_1C_1$. Так как $AH = \frac{1}{2} AC$ и $A_1H_1 = \frac{1}{2} A_1C_1$, то отсюда следует, что $AH = A_1H_1$.

4. Теперь рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$. В этих треугольниках:

- катет $AH$ равен катету $A_1H_1$ (доказано в п. 3),

- катет $BH$ равен катету $B_1H_1$ (по условию задачи).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ равны по двум катетам (что соответствует первому признаку равенства треугольников).

5. Из равенства треугольников $\triangle ABH$ и $\triangle A_1B_1H_1$ следует равенство их соответствующих элементов, в частности, их гипотенуз: $AB = A_1B_1$.

6. Теперь мы можем доказать равенство исходных треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам):

- $AC = A_1C_1$ (по условию).

- $AB = A_1B_1$ (доказано в п. 5).

- $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$ (по определению равнобедренного треугольника). Так как $AB = A_1B_1$, то и $BC = B_1C_1$.

Таким образом, все три стороны $\triangle ABC$ соответственно равны трем сторонам $\triangle A_1B_1C_1$.

Следовательно, $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство равнобедренных треугольников следует из третьего признака равенства треугольников (по трем сторонам), так как из равенства их оснований и высот, проведенных к основаниям, доказывается равенство их боковых сторон.