Номер 2.46, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.46. Докажите, что в каждом равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны.

Дано:

Пусть дан равнобедренный треугольник $ \triangle ABC $, в котором боковые стороны $ AB $ и $ BC $ равны ($ AB = BC $), а $ AC $ — основание.

$ AD $ — биссектриса угла при основании $ \angle BAC $, проведенная к боковой стороне $ BC $.

$ CE $ — биссектриса угла при основании $ \angle BCA $, проведенная к боковой стороне $ AB $.

Доказать:

Что длины биссектрис равны: $ AD = CE $.

Доказательство:

Для доказательства рассмотрим треугольники $ \triangle ADC $ и $ \triangle CEA $.

1. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $ \angle BAC = \angle BCA $. Обозначим эти углы как $ \angle A $ и $ \angle C $ соответственно.

2. Так как $ AD $ является биссектрисой угла $ \angle BAC $, то $ \angle DAC = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \angle A $.

3. Так как $ CE $ является биссектрисой угла $ \angle BCA $, то $ \angle ECA = \frac{1}{2} \angle BCA = \frac{1}{2} \angle C $.

4. Поскольку $ \angle A = \angle C $, то и их половины равны: $ \angle DAC = \angle ECA $.

5. Сторона $ AC $ является общей для треугольников $ \triangle ADC $ и $ \triangle CEA $.

Теперь мы можем сравнить треугольники $ \triangle ADC $ и $ \triangle CEA $ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). У них:

- $ \angle DCA = \angle EAC $ (это углы $ \angle C $ и $ \angle A $ при основании равнобедренного треугольника $ \triangle ABC $).

- $ AC $ — общая сторона.

- $ \angle DAC = \angle ECA $ (как половины равных углов при основании).

Следовательно, треугольник $ \triangle ADC $ равен треугольнику $ \triangle CEA $ ($ \triangle ADC \cong \triangle CEA $).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. В треугольнике $ \triangle ADC $ сторона $ AD $ лежит напротив угла $ \angle DCA $. В треугольнике $ \triangle CEA $ сторона $ CE $ лежит напротив угла $ \angle EAC $.

Так как $ \angle DCA = \angle EAC $, то и противолежащие им стороны $ AD $ и $ CE $ равны.

Таким образом, $ AD = CE $.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. В любом равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные из вершин углов при основании к боковым сторонам, равны.