Номер 2.40, страница 41 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.40. В треугольнике $ABC$ $AB = BC$ и $BD$ – биссектриса. Найдите:

1) $\angle BCA$, если смежный угол при вершине A равен $130^\circ$;

2) периметр треугольника $ABC$, если $AB = 5$ см, $AD = 2$ см.

По условию, в треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC$, следовательно, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Также в равнобедренном треугольнике биссектриса $BD$, проведенная из вершины к основанию, является медианой и высотой.

1) Смежный угол при вершине $A$ и внутренний угол треугольника $\angle BAC$ в сумме составляют $180^\circ$, так как они являются смежными. Известно, что смежный угол при вершине $A$ равен $130^\circ$. Тогда мы можем найти величину угла $\angle BAC$:

$\angle BAC = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ$.

Поскольку треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, углы при основании равны:

$\angle BCA = \angle BAC$.

Следовательно, $\angle BCA = 50^\circ$.

Ответ: $50^\circ$.

2) Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Из условия задачи известно, что $AB = 5$ см. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный и $AB = BC$, то $BC = 5$ см.

Биссектриса $BD$, проведенная к основанию $AC$ в равнобедренном треугольнике, является также его медианой. Это означает, что точка $D$ — середина стороны $AC$, и, следовательно, $AD = DC$.

По условию $AD = 2$ см, значит, и $DC = 2$ см.

Длина основания $AC$ равна сумме длин отрезков $AD$ и $DC$:

$AC = AD + DC = 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Теперь можем вычислить периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 5 \text{ см} + 5 \text{ см} + 4 \text{ см} = 14 \text{ см}$.

Ответ: $14$ см.