Номер 2.36, страница 40 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.36. Используя условие задачи 2.35, докажите, что $AB \perp PQ$.

Поскольку условие задачи 2.35 не предоставлено, решение будет основано на наиболее стандартной и общепринятой постановке задачи, которая соответствует обозначениям. Предполагается, что в условии задачи 2.35 речь идет о двух пересекающихся окружностях.

Таким образом, мы решаем следующую задачу:

Дано: Две окружности с центрами в точках $A$ и $B$ пересекаются в точках $P$ и $Q$.

Требуется доказать: Прямая $AB$ перпендикулярна прямой $PQ$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $APQ$. Точки $P$ и $Q$ лежат на окружности с центром в точке $A$. Следовательно, отрезки $AP$ и $AQ$ равны как радиусы этой окружности: $AP = AQ$. Это означает, что треугольник $APQ$ является равнобедренным с основанием $PQ$.

2. Рассмотрим треугольник $BPQ$. Точки $P$ и $Q$ также лежат на второй окружности с центром в точке $B$. Следовательно, отрезки $BP$ и $BQ$ равны как радиусы этой второй окружности: $BP = BQ$. Это означает, что треугольник $BPQ$ также является равнобедренным с основанием $PQ$.

3. Прямая $AB$, соединяющая вершины равнобедренных треугольников $APQ$ и $BPQ$, построенных на общем основании $PQ$, содержит их высоты, проведенные к этому основанию. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Пусть $M$ — середина отрезка $PQ$. Тогда в треугольнике $APQ$ медиана $AM$ является и высотой, то есть $AM \perp PQ$. Аналогично, в треугольнике $BPQ$ медиана $BM$ является и высотой, то есть $BM \perp PQ$.

4. Поскольку отрезки $AM$ и $BM$ перпендикулярны одной и той же прямой $PQ$ и имеют общую точку $M$, они лежат на одной прямой. В плоскости через точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. Следовательно, точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой.

5. Таким образом, прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, совпадает с прямой, проходящей через точки $A$ и $M$, которая перпендикулярна $PQ$. Значит, прямая $AB$ перпендикулярна прямой $PQ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что $AB \perp PQ$, доказано.