Номер 2.31, страница 40 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.31. Медиана $AD$ треугольника $ABC$ продолжена за сторону $BC$. На продолжении медианы $DE$ взята точка $E$ так, что $DE = AD$, и точка $E$ соединена с точкой $C$.

1) Докажите, что $\triangle ABD = \triangle ECD$.

2) Найдите $\angle ACE$, если $\angle ACD = 56^\circ$, $\angle ABD = 40^\circ$ (рис. 2.28).

Рис. 2.28

1)

Рассмотрим треугольники $ΔABD$ и $ΔECD$.

1. По условию, $AD$ является медианой треугольника $ABC$. Это означает, что точка $D$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезки $BD$ и $CD$ равны: $BD = CD$.

2. По условию, точка $E$ лежит на продолжении медианы $AD$ так, что $DE = AD$.

3. Углы $∠ADB$ и $∠EDC$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AE$ и $BC$. Вертикальные углы равны, следовательно, $∠ADB = ∠EDC$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $ΔABD$ ($AD$, $BD$ и $∠ADB$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $ΔECD$ ($DE$, $CD$ и $∠EDC$).

Следовательно, $ΔABD = ΔECD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔABD$ и $ΔECD$ доказано.

2)

Угол $∠ACE$ можно представить как сумму двух углов: $∠ACD$ и $∠DCE$. Таким образом, $∠ACE = ∠ACD + ∠DCE$.

Из равенства треугольников $ΔABD$ и $ΔECD$, которое мы доказали в первом пункте, следует равенство их соответствующих углов.

Напротив равных сторон лежат равные углы. В $ΔABD$ напротив стороны $AD$ лежит угол $∠ABD$. В $ΔECD$ напротив равной ей стороны $DE$ лежит угол $∠ECD$. Следовательно, эти углы равны: $∠ECD = ∠ABD$.

По условию задачи дано, что $∠ABD = 40°$. Значит, $∠ECD = 40°$.

Также по условию дано, что $∠ACD = 56°$.

Теперь мы можем найти величину угла $∠ACE$:

$∠ACE = ∠ACD + ∠ECD = 56° + 40° = 96°$.

Ответ: $96°$