Номер 2.30, страница 40 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.30. Точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $a$. Перпендикуляры $AB$ и $CD$ к прямой $a$ равны.

1) Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CDB$.

2) Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADB = 44^{\circ}$.

1) Рассмотрим треугольники $△ABD$ и $△CDB$. По условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ являются перпендикулярами к прямой $a$. Точки $B$ и $D$ лежат на этой прямой, следовательно, отрезок $BD$ также лежит на прямой $a$. Это означает, что углы, образованные перпендикулярами с прямой, являются прямыми, то есть $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle CDB = 90^\circ$.

Сравним треугольники $△ABD$ и $△CDB$. У них:

1. $AB = CD$ (по условию, длины перпендикуляров равны).

2. $BD$ — общая сторона.

3. $\angle ABD = \angle CDB = 90^\circ$.

Таким образом, $△ABD = △CDB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Так как треугольники прямоугольные, этот признак также называют признаком равенства по двум катетам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $△ABD$ и $△CDB$ доказано.

2) Из равенства треугольников $△ABD = △CDB$, доказанного в первом пункте, следует равенство их соответствующих углов. Углу $\angle ADB$ в треугольнике $△ABD$ соответствует угол $\angle CBD$ в треугольнике $△CDB$. Следовательно, $\angle CBD = \angle ADB$.

По условию $\angle ADB = 44^\circ$, значит, $\angle CBD = 44^\circ$.

Угол $\angle ABC$ образован лучами $BA$ и $BC$. Так как точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $a$ (на которой лежит отрезок $BD$), то угол $\angle ABC$ складывается из углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$.

Мы знаем, что $\angle ABD = 90^\circ$ (так как $AB$ — перпендикуляр к прямой $a$) и $\angle CBD = 44^\circ$.

Тогда искомый угол равен:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 90^\circ + 44^\circ = 134^\circ$.

Ответ: $134^\circ$.