Страница 40 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.25. Периметр равнобедренного треугольника равен 7,5 м, а боковая сторона равна 2 м. Найдите основание.

Периметр равнобедренного треугольника — это сумма длин его основания и двух равных боковых сторон. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания — как $b$. Формула периметра $P$ для равнобедренного треугольника выглядит следующим образом: $P = 2a + b$.

По условию задачи нам даны:

• Периметр $P = 7,5$ м
• Боковая сторона $a = 2$ м

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину основания $b$:

$7,5 = 2 \cdot 2 + b$

$7,5 = 4 + b$

Теперь выразим $b$ из уравнения:

$b = 7,5 - 4$

$b = 3,5$ м

Таким образом, основание равнобедренного треугольника равно 3,5 м.

Ответ: 3,5 м.

2.26. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если:

1) основание на 3 м меньше боковой стороны;

2) основание на 3 м больше боковой стороны.

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $a$ м, а основание — $b$ м. Периметр $P$ равнобедренного треугольника вычисляется по формуле $P = 2a + b$. По условию, $P = 15,6$ м, следовательно, получаем основное уравнение: $2a + b = 15,6$.

1) основание на 3 м меньше боковой стороны

В этом случае, соотношение между сторонами выражается формулой $b = a - 3$.

Подставим это выражение в основное уравнение периметра:

$2a + (a - 3) = 15,6$

$3a - 3 = 15,6$

$3a = 15,6 + 3$

$3a = 18,6$

$a = \frac{18,6}{3} = 6,2$ м.

Длина боковой стороны составляет $6,2$ м.

Теперь найдем длину основания:

$b = a - 3 = 6,2 - 3 = 3,2$ м.

Длина основания — $3,2$ м.

Проверим, выполняется ли неравенство треугольника (сумма двух сторон должна быть больше третьей):

$6,2 + 6,2 > 3,2$ ($12,4 > 3,2$ — верно).

$6,2 + 3,2 > 6,2$ ($9,4 > 6,2$ — верно).

Таким образом, стороны треугольника равны $6,2$ м, $6,2$ м и $3,2$ м.

Ответ: боковые стороны по $6,2$ м, основание $3,2$ м.

2) основание на 3 м больше боковой стороны

В этом случае, соотношение между сторонами $b = a + 3$.

Подставим это выражение в уравнение периметра:

$2a + (a + 3) = 15,6$

$3a + 3 = 15,6$

$3a = 15,6 - 3$

$3a = 12,6$

$a = \frac{12,6}{3} = 4,2$ м.

Длина боковой стороны составляет $4,2$ м.

Теперь найдем длину основания:

$b = a + 3 = 4,2 + 3 = 7,2$ м.

Длина основания — $7,2$ м.

Проверим неравенство треугольника:

$4,2 + 4,2 > 7,2$ ($8,4 > 7,2$ — верно).

$4,2 + 7,2 > 4,2$ ($11,4 > 4,2$ — верно).

Таким образом, стороны треугольника равны $4,2$ м, $4,2$ м и $7,2$ м.

Ответ: боковые стороны по $4,2$ м, основание $7,2$ м.

2.27. Докажите, что у равностороннего треугольника все углы равны.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$.

По определению, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все три стороны равны. Следовательно, для нашего треугольника выполняется равенство: $AB = BC = AC$.

Для доказательства равенства углов воспользуемся свойством равнобедренного треугольника, которое гласит, что в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как у него стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB = BC$), то его можно считать равнобедренным с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании $AC$ равны, то есть $\angle A = \angle C$.

2. Теперь рассмотрим тот же треугольник $ABC$ с другой стороны. Так как у него стороны $AC$ и $BC$ равны ($AC = BC$), то его можно считать равнобедренным с основанием $AB$. Следовательно, углы при основании $AB$ также равны, то есть $\angle A = \angle B$.

Из полученных в пунктах 1 и 2 равенств ($\angle A = \angle C$ и $\angle A = \angle B$) следует, что все три угла треугольника равны между собой: $\angle A = \angle B = \angle C$.

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: В равностороннем треугольнике все углы равны, что и требовалось доказать.

2.28. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC $ \angle B = 40^\circ $. Найдите смежный угол при вершине C.

Поскольку по условию задачи треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $BC$, то углы при основании этого треугольника равны. Это значит, что $\angle C = \angle B$.

Так как нам дано, что $\angle B = 40^\circ$, то и внутренний угол при вершине $C$ также равен $40^\circ$.

$\angle C = 40^\circ$

Смежный угол для любого внутреннего угла многоугольника — это угол, который вместе с внутренним углом составляет развернутый угол, то есть их сумма равна $180^\circ$.

Пусть искомый смежный угол при вершине $C$ — это $\angle C_{смежн.}$. Тогда справедливо равенство:

$\angle C + \angle C_{смежн.} = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle C$ в формулу и найдем смежный угол:

$40^\circ + \angle C_{смежн.} = 180^\circ$

$\angle C_{смежн.} = 180^\circ - 40^\circ$

$\angle C_{смежн.} = 140^\circ$

Ответ: $140^\circ$

2.29. $ON$ – биссектриса прямого угла $\angle AOB$, $OK$ и $OP$ – биссектрисы углов $\angle AON$ и $\angle NOB$. Найдите угол $\angle KOP$ (рис. 2.27).

Рис. 2.27

По условию задачи, угол AOB является прямым, следовательно, его градусная мера равна 90 градусов.

$\angle AOB = 90^{\circ}$

Луч ON является биссектрисой угла AOB. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Таким образом:

$\angle AON = \angle NOB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$

Луч OK является биссектрисой угла AON. Следовательно, он делит этот угол пополам:

$\angle KON = \frac{1}{2}\angle AON$

Аналогично, луч OP является биссектрисой угла NOB, следовательно:

$\angle NOP = \frac{1}{2}\angle NOB$

Искомый угол KOP состоит из двух углов: KON и NOP. Чтобы найти его величину, нужно сложить величины этих углов:

$\angle KOP = \angle KON + \angle NOP$

Подставим выражения для углов KON и NOP в эту формулу:

$\angle KOP = \frac{1}{2}\angle AON + \frac{1}{2}\angle NOB$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle KOP = \frac{1}{2}(\angle AON + \angle NOB)$

Сумма углов $\angle AON$ и $\angle NOB$ равна исходному углу $\angle AOB$, поэтому:

$\angle KOP = \frac{1}{2}\angle AOB$

Теперь подставим числовое значение угла AOB:

$\angle KOP = \frac{1}{2} \times 90^{\circ} = 45^{\circ}$

Ответ: $45^{\circ}$

2.30. Точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $a$. Перпендикуляры $AB$ и $CD$ к прямой $a$ равны.

1) Докажите, что $\triangle ABD = \triangle CDB$.

2) Найдите $\angle ABC$, если $\angle ADB = 44^{\circ}$.

1) Рассмотрим треугольники $△ABD$ и $△CDB$. По условию задачи, отрезки $AB$ и $CD$ являются перпендикулярами к прямой $a$. Точки $B$ и $D$ лежат на этой прямой, следовательно, отрезок $BD$ также лежит на прямой $a$. Это означает, что углы, образованные перпендикулярами с прямой, являются прямыми, то есть $\angle ABD = 90^\circ$ и $\angle CDB = 90^\circ$.

Сравним треугольники $△ABD$ и $△CDB$. У них:

1. $AB = CD$ (по условию, длины перпендикуляров равны).

2. $BD$ — общая сторона.

3. $\angle ABD = \angle CDB = 90^\circ$.

Таким образом, $△ABD = △CDB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Так как треугольники прямоугольные, этот признак также называют признаком равенства по двум катетам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $△ABD$ и $△CDB$ доказано.

2) Из равенства треугольников $△ABD = △CDB$, доказанного в первом пункте, следует равенство их соответствующих углов. Углу $\angle ADB$ в треугольнике $△ABD$ соответствует угол $\angle CBD$ в треугольнике $△CDB$. Следовательно, $\angle CBD = \angle ADB$.

По условию $\angle ADB = 44^\circ$, значит, $\angle CBD = 44^\circ$.

Угол $\angle ABC$ образован лучами $BA$ и $BC$. Так как точки $A$ и $C$ лежат по разные стороны от прямой $a$ (на которой лежит отрезок $BD$), то угол $\angle ABC$ складывается из углов $\angle ABD$ и $\angle CBD$.

Мы знаем, что $\angle ABD = 90^\circ$ (так как $AB$ — перпендикуляр к прямой $a$) и $\angle CBD = 44^\circ$.

Тогда искомый угол равен:

$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 90^\circ + 44^\circ = 134^\circ$.

Ответ: $134^\circ$.

2.31. Медиана $AD$ треугольника $ABC$ продолжена за сторону $BC$. На продолжении медианы $DE$ взята точка $E$ так, что $DE = AD$, и точка $E$ соединена с точкой $C$.

1) Докажите, что $\triangle ABD = \triangle ECD$.

2) Найдите $\angle ACE$, если $\angle ACD = 56^\circ$, $\angle ABD = 40^\circ$ (рис. 2.28).

Рис. 2.28

1)

Рассмотрим треугольники $ΔABD$ и $ΔECD$.

1. По условию, $AD$ является медианой треугольника $ABC$. Это означает, что точка $D$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезки $BD$ и $CD$ равны: $BD = CD$.

2. По условию, точка $E$ лежит на продолжении медианы $AD$ так, что $DE = AD$.

3. Углы $∠ADB$ и $∠EDC$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AE$ и $BC$. Вертикальные углы равны, следовательно, $∠ADB = ∠EDC$.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в треугольнике $ΔABD$ ($AD$, $BD$ и $∠ADB$), которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в треугольнике $ΔECD$ ($DE$, $CD$ и $∠EDC$).

Следовательно, $ΔABD = ΔECD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔABD$ и $ΔECD$ доказано.

2)

Угол $∠ACE$ можно представить как сумму двух углов: $∠ACD$ и $∠DCE$. Таким образом, $∠ACE = ∠ACD + ∠DCE$.

Из равенства треугольников $ΔABD$ и $ΔECD$, которое мы доказали в первом пункте, следует равенство их соответствующих углов.

Напротив равных сторон лежат равные углы. В $ΔABD$ напротив стороны $AD$ лежит угол $∠ABD$. В $ΔECD$ напротив равной ей стороны $DE$ лежит угол $∠ECD$. Следовательно, эти углы равны: $∠ECD = ∠ABD$.

По условию задачи дано, что $∠ABD = 40°$. Значит, $∠ECD = 40°$.

Также по условию дано, что $∠ACD = 56°$.

Теперь мы можем найти величину угла $∠ACE$:

$∠ACE = ∠ACD + ∠ECD = 56° + 40° = 96°$.

Ответ: $96°$

2.32. В равнобедренном треугольнике основание в два раза меньше боковой стороны, а периметр равен 50 см. Найдите стороны треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник. Обозначим длину его боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$.

По определению равнобедренного треугольника, две его боковые стороны равны. Таким образом, у треугольника есть две стороны длиной $a$ и одна сторона (основание) длиной $b$.

Периметр треугольника, $P$, это сумма длин всех его сторон. Для нашего случая формула периметра будет выглядеть так: $P = a + a + b = 2a + b$

Из условия задачи нам известно, что периметр равен 50 см: $2a + b = 50$

Также из условия известно, что основание в два раза меньше боковой стороны. Это можно записать в виде математического соотношения: $b = \frac{a}{2}$ Или, что то же самое: $a = 2b$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными: $ \begin{cases} 2a + b = 50 \\ a = 2b \end{cases} $

Для решения этой системы подставим второе уравнение в первое, заменив $a$ на $2b$: $2(2b) + b = 50$

Выполним умножение и сложим подобные члены: $4b + b = 50$ $5b = 50$

Теперь найдем значение $b$ (длину основания): $b = \frac{50}{5}$ $b = 10$ см

Мы нашли длину основания. Теперь, зная $b$, найдем длину боковой стороны $a$, используя соотношение $a = 2b$: $a = 2 \cdot 10$ $a = 20$ см

Таким образом, стороны треугольника равны: две боковые стороны по 20 см и основание 10 см.

Проверим, соответствует ли это условиям задачи:

1. Основание (10 см) в два раза меньше боковой стороны (20 см): $10 = \frac{20}{2}$. Верно.

2. Периметр равен 50 см: $20 \text{ см} + 20 \text{ см} + 10 \text{ см} = 50 \text{ см}$. Верно.

Ответ: стороны треугольника равны 20 см, 20 см и 10 см.

2.33. Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ с основанием $BC$ равен 40 см, а периметр равностороннего треугольника $BDC$ равен 45 см. Найдите стороны $AB$ и $BC$.

Рассмотрим равносторонний треугольник BDC. В равностороннем треугольнике все стороны равны, поэтому $BD = DC = BC$. Его периметр $P_{BDC}$ вычисляется по формуле $P_{BDC} = 3 \times BC$.

По условию задачи, периметр треугольника BDC равен 45 см. Отсюда мы можем найти длину стороны BC:

$3 \times BC = 45$

$BC = \frac{45}{3}$

$BC = 15$ см.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник ABC. По условию, BC является его основанием, следовательно, боковые стороны треугольника равны: $AB = AC$. Периметр треугольника ABC ($P_{ABC}$) равен сумме длин его сторон: $P_{ABC} = AB + AC + BC$.

Так как $AB = AC$, формулу периметра можно записать в виде $P_{ABC} = 2 \times AB + BC$. По условию, $P_{ABC} = 40$ см. Мы уже нашли, что $BC = 15$ см. Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину стороны AB:

$40 = 2 \times AB + 15$

$2 \times AB = 40 - 15$

$2 \times AB = 25$

$AB = \frac{25}{2}$

$AB = 12.5$ см.

Ответ: $AB = 12.5$ см, $BC = 15$ см.

2.34. Через середину C отрезка AB проведена прямая, перпендикулярная отрезку AB. Докажите, что каждая точка этой прямой одинаково удалена от точек A и B.

Пусть дан отрезок $AB$, и точка $C$ является его серединой. Согласно определению середины отрезка, $AC = CB$. Через точку $C$ проведена прямая $m$, перпендикулярная отрезку $AB$. Это означает, что прямая $m$ образует с отрезком $AB$ прямые углы.

Необходимо доказать, что любая точка, лежащая на прямой $m$, находится на одинаковом расстоянии от точек $A$ и $B$.

Выберем на прямой $m$ произвольную точку $M$. Расстояние от точки $M$ до точки $A$ равно длине отрезка $MA$, а расстояние от точки $M$ до точки $B$ — длине отрезка $MB$. Таким образом, нам нужно доказать равенство $MA = MB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$.

• Сторона $AC$ равна стороне $CB$ ($AC = CB$), так как точка $C$ — середина отрезка $AB$ по условию задачи.
• Сторона $MC$ является общей для обоих треугольников.
• Угол $\angle MCA$ и угол $\angle MCB$ являются прямыми, то есть $\angle MCA = \angle MCB = 90^\circ$, поскольку прямая $m$ перпендикулярна $AB$ по условию.

Таким образом, треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Поскольку треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$ равны, их соответствующие элементы также равны. В частности, сторона $MA$ треугольника $\triangle AMC$ (являющаяся гипотенузой) равна соответствующей стороне $MB$ треугольника $\triangle BMC$ (также гипотенузе). Следовательно, $MA = MB$.

Так как точка $M$ была выбрана на прямой $m$ произвольно, данное заключение справедливо для любой точки этой прямой. Это доказывает, что каждая точка прямой $m$ одинаково удалена от точек $A$ и $B$.

Ответ: Утверждение доказано. Каждая точка прямой, перпендикулярной отрезку и проходящей через его середину, равноудалена от концов этого отрезка.

2.35. Отрезки AB и PQ пересекаются так, что $AP = AQ$ и $BP = BQ$. Докажите, что луч AB является биссектрисой угла $PAQ$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle APB $ и $ \triangle AQB $.

Сравним эти два треугольника по их сторонам:

1. Сторона $ AP $ равна стороне $ AQ $ ($ AP = AQ $) по условию задачи.

2. Сторона $ BP $ равна стороне $ BQ $ ($ BP = BQ $) также по условию задачи.

3. Сторона $ AB $ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольник $ \triangle APB $ равен треугольнику $ \triangle AQB $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. В данном случае, угол $ \angle PAB $ в треугольнике $ \triangle APB $ соответствует углу $ \angle QAB $ в треугольнике $ \triangle AQB $, так как они лежат между парами равных сторон ($ AP = AQ $ и общая сторона $ AB $). Следовательно, $ \angle PAB = \angle QAB $.

По определению, луч является биссектрисой угла, если он делит этот угол на два равных угла. Поскольку луч $ AB $ делит угол $ \angle PAQ $ на два равных угла ($ \angle PAB $ и $ \angle QAB $), он является его биссектрисой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.36. Используя условие задачи 2.35, докажите, что $AB \perp PQ$.

Поскольку условие задачи 2.35 не предоставлено, решение будет основано на наиболее стандартной и общепринятой постановке задачи, которая соответствует обозначениям. Предполагается, что в условии задачи 2.35 речь идет о двух пересекающихся окружностях.

Таким образом, мы решаем следующую задачу:

Дано: Две окружности с центрами в точках $A$ и $B$ пересекаются в точках $P$ и $Q$.

Требуется доказать: Прямая $AB$ перпендикулярна прямой $PQ$.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник $APQ$. Точки $P$ и $Q$ лежат на окружности с центром в точке $A$. Следовательно, отрезки $AP$ и $AQ$ равны как радиусы этой окружности: $AP = AQ$. Это означает, что треугольник $APQ$ является равнобедренным с основанием $PQ$.

2. Рассмотрим треугольник $BPQ$. Точки $P$ и $Q$ также лежат на второй окружности с центром в точке $B$. Следовательно, отрезки $BP$ и $BQ$ равны как радиусы этой второй окружности: $BP = BQ$. Это означает, что треугольник $BPQ$ также является равнобедренным с основанием $PQ$.

3. Прямая $AB$, соединяющая вершины равнобедренных треугольников $APQ$ и $BPQ$, построенных на общем основании $PQ$, содержит их высоты, проведенные к этому основанию. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, является и высотой. Пусть $M$ — середина отрезка $PQ$. Тогда в треугольнике $APQ$ медиана $AM$ является и высотой, то есть $AM \perp PQ$. Аналогично, в треугольнике $BPQ$ медиана $BM$ является и высотой, то есть $BM \perp PQ$.

4. Поскольку отрезки $AM$ и $BM$ перпендикулярны одной и той же прямой $PQ$ и имеют общую точку $M$, они лежат на одной прямой. В плоскости через точку на прямой можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. Следовательно, точки $A$, $M$ и $B$ лежат на одной прямой.

5. Таким образом, прямая, проходящая через точки $A$ и $B$, совпадает с прямой, проходящей через точки $A$ и $M$, которая перпендикулярна $PQ$. Значит, прямая $AB$ перпендикулярна прямой $PQ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение о том, что $AB \perp PQ$, доказано.

2.37. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC на медиане AD отмечена точка E. Докажите, что:

1) $ΔABE = ΔAEC$;

2) $ΔBED = ΔCED$.

1) $\triangle ABE = \triangle AEC$

Рассмотрим треугольники $ABE$ и $AEC$.

• $AB = AC$, так как по условию $\triangle ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$.
• $AE$ — общая сторона для обоих треугольников.
• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и биссектрисой. Так как $AD$ — медиана к основанию $BC$, то она же и биссектриса угла $\angle BAC$. Отсюда $\angle BAD = \angle CAD$. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $AD$, то $\angle BAE = \angle CAE$.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABE = \triangle AEC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) $\triangle BED = \triangle CED$

Рассмотрим треугольники $BED$ и $CED$.

• $BD = CD$, так как по условию $AD$ — медиана, а значит, она делит сторону $BC$ пополам.
• $ED$ — общая сторона для обоих треугольников.
• В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является также и высотой. Так как $AD$ — медиана к основанию $BC$, то она же и высота, то есть $AD \perp BC$. Отсюда $\angle ADB = \angle ADC = 90^\circ$. Поскольку точка $E$ лежит на отрезке $AD$, то $\angle BDE = \angle CDE = 90^\circ$.

Таким образом, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle BED = \triangle CED$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.38. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, причем $CO = BO$ и $\angle ACO = \angle DBO$. Докажите, что $\triangle ACO = \triangle DBO$.

Рассмотрим треугольники $ΔACO$ и $ΔDBO$.

Для доказательства их равенства необходимо найти три пары равных элементов, которые соответствуют одному из признаков равенства треугольников.

1. По условию задачи дано, что $CO = BO$.

2. Также по условию задачи нам известно, что $∠ACO = ∠DBO$.

3. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Углы $∠AOC$ и $∠DOB$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении этих отрезков. По свойству вертикальных углов, они равны: $∠AOC = ∠DOB$.

Таким образом, мы имеем равенство одной стороны ($CO = BO$) и двух прилежащих к ней углов ($∠ACO = ∠DBO$ и $∠AOC = ∠DOB$) в треугольниках $ΔACO$ и $ΔDBO$.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), треугольник $ΔACO$ равен треугольнику $ΔDBO$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ΔACO$ и $ΔDBO$ следует из второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). У них $CO = BO$ и $∠ACO = ∠DBO$ по условию, а $∠AOC = ∠DOB$ как вертикальные углы.