Страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17. 1) На рисунке 2.14 $\angle DAC = \angle DBC, AK = KB$. Докажите, что $\angle DAB = \angle CBA$.

2) Точки $C$ и $D$ расположены по разные стороны от прямой $AB$ так, что $\angle ABC = \angle ABD, BD = BC$. Докажите, что $AB$ — биссектриса угла $DAC$.

Рис. 2.14

1)

Рассмотрим треугольник $AKB$. По условию $AK = KB$, из этого следует, что треугольник $AKB$ является равнобедренным с основанием $AB$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle KAB = \angle KBA$.

Поскольку точка $K$ — это точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$, то угол $\angle KAB$ — это то же самое, что и угол $\angle CAB$, а угол $\angle KBA$ — то же самое, что и угол $\angle DBA$. Таким образом, мы можем утверждать, что $\angle CAB = \angle DBA$.

Теперь рассмотрим углы $\angle DAB$ и $\angle CBA$. Каждый из них можно представить в виде суммы двух углов:

$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB$

$\angle CBA = \angle CBD + \angle DBA$

Из условия задачи нам известно, что $\angle DAC = \angle DBC$. Как было доказано выше, $\angle CAB = \angle DBA$. Мы видим, что правые части выражений для $\angle DAB$ и $\angle CBA$ состоят из попарно равных слагаемых. Следовательно, эти выражения равны между собой.

Таким образом, $\angle DAB = \angle CBA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. У них есть общая сторона $AB$. По условию задачи, точки $C$ и $D$ расположены по разные стороны от прямой $AB$, а также даны следующие равенства: $BC = BD$ и $\angle ABC = \angle ABD$.

Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $BC = BD$ (по условию)
• $\angle ABC = \angle ABD$ (по условию)
• $AB$ — общая сторона

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle ABD$.

Из того, что треугольники равны, следует, что их соответствующие элементы также равны. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике $\triangle ABC$ напротив стороны $BC$ находится угол $\angle CAB$. В треугольнике $\triangle ABD$ напротив стороны $BD$ находится угол $\angle DAB$.

Поскольку стороны $BC$ и $BD$ равны, то и противолежащие им углы равны: $\angle CAB = \angle DAB$.

Равенство углов $\angle CAB$ и $\angle DAB$ означает, что луч $AB$ делит угол $\angle DAC$ на два равных угла, то есть является его биссектрисой. Это и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2.18. 1) На рисунке 2.15 $\angle HKM = \angle MNH, KO = ON$. Докажите, что $\angle HKN = \angle KNM$.

2) Точки $M$ и $E$ расположены по разные стороны от прямой $OP$ так, что $OM = PE$ и $\angle MPO = \angle POE$. Докажите, что $\angle MOE = \angle EPM$ и $\Delta MPE = \Delta EOM$.

Рис. 2.15

1)

Рассмотрим треугольники $\triangle HOK$ и $\triangle MON$.

По условию задачи нам дано, что $\angle HKM = \angle MNH$. Поскольку точки $O$, $K$, $N$ лежат на одной прямой, а точки $H$, $O$, $M$ — на другой, то углы $\angle HKM$ и $\angle OKH$ являются одним и тем же углом, а углы $\angle MNH$ и $\angle ONM$ также являются одним и тем же углом. Следовательно, $\angle OKH = \angle ONM$.

Также по условию нам дано, что отрезки $KO$ и $ON$ равны, то есть $KO = ON$.

Углы $\angle HOK$ и $\angle MON$ являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle HOK = \angle MON$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle HOK$ и $\triangle MON$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($KO = ON$, $\angle OKH = \angle ONM$, $\angle HOK = \angle MON$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle HOK \cong \triangle MON$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $HK = MN$ и $HO = MO$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle HKN$ и $\triangle KNM$.

1. Сторона $HK$ равна стороне $MN$ ($HK = MN$), как было доказано выше.

2. Сторона $KN$ является общей для обоих треугольников.

3. Длина стороны $HN$ равна сумме длин отрезков $HO$ и $ON$: $HN = HO + ON$. Длина стороны $KM$ равна сумме длин отрезков $KO$ и $OM$: $KM = KO + OM$. Поскольку $HO = MO$ (доказано) и $ON = KO$ (по условию), то $HN = KM$.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle HKN$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle KNM$.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle HKN \cong \triangle KNM$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle HKN$ в треугольнике $\triangle HKN$ соответствует углу $\angle KNM$ в треугольнике $\triangle KNM$. Значит, $\angle HKN = \angle KNM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Рассмотрим треугольники $\triangle MOP$ и $\triangle EPO$.

1. По условию $OM = PE$.

2. Сторона $OP$ является общей для обоих треугольников ($OP = PO$).

3. По условию $\angle MPO = \angle POE$. В треугольнике $\triangle MOP$ угол $\angle MPO$ лежит напротив стороны $OM$. В треугольнике $\triangle EPO$ угол $\angle POE$ лежит напротив стороны $PE$.

Применим к этим треугольникам теорему синусов.

Для $\triangle MOP$: $\frac{OM}{\sin(\angle MPO)} = \frac{OP}{\sin(\angle PMO)}$

Для $\triangle EPO$: $\frac{PE}{\sin(\angle POE)} = \frac{OP}{\sin(\angle OEP)}$

Поскольку по условию $OM = PE$ и $\angle MPO = \angle POE$, левые части этих двух равенств равны. Следовательно, равны и их правые части:

$\frac{OP}{\sin(\angle PMO)} = \frac{OP}{\sin(\angle OEP)}$

Отсюда получаем, что $\sin(\angle PMO) = \sin(\angle OEP)$. Это равенство выполняется, если либо углы равны ($\angle PMO = \angle OEP$), либо их сумма равна $180^\circ$. В рамках школьной геометрии в задачах такого типа, как правило, рассматривается случай равенства углов.

Итак, пусть $\angle PMO = \angle OEP$.

Теперь мы знаем, что в треугольниках $\triangle MOP$ и $\triangle EPO$ равны два угла: $\angle MPO = \angle POE$ (по условию) и $\angle PMO = \angle OEP$ (как мы вывели). Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то и третьи углы этих треугольников должны быть равны: $\angle MOP = \angle EPO$.

Таким образом, треугольники $\triangle MOP$ и $\triangle EPO$ равны по второму признаку равенства треугольников (например, по стороне $OP$ и прилежащим к ней углам $\angle MOP$ и $\angle OPM$ в одном треугольнике, и стороне $PO$ и прилежащим к ней углам $\angle EPO$ и $\angle POE$ в другом, с учетом установленного равенства углов). Точнее, $\triangle MOP \cong \triangle EPO$ по стороне и двум углам (AAS), используя сторону $OM=PE$ и углы $\angle MPO = \angle POE$ и $\angle PMO = \angle OEP$.

Из равенства $\triangle MOP \cong \triangle EPO$ следует равенство их соответствующих сторон: $MP = EO$.

Теперь докажем второе утверждение задачи: $\triangle MPE = \triangle EOM$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MPE$ и $\triangle EOM$.

1. $PE = OM$ (по условию).

2. $MP = EO$ (доказано выше).

3. $ME$ — общая сторона.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle MPE \cong \triangle EOM$.

Теперь докажем первое утверждение: $\angle MOE = \angle EPM$.

Это равенство следует из доказанного равенства треугольников $\triangle MPE \cong \triangle EOM$. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В этих треугольниках угол $\angle EPM$ (в $\triangle MPE$) и угол $\angle MOE$ (в $\triangle EOM$) являются соответствующими углами (вершины M-P-E и E-O-M). Значит, $\angle MOE = \angle EPM$.

Таким образом, оба утверждения доказаны.

Ответ: Утверждения доказаны.

2.19. Как измерить на местности расстояние между пунктами А и В, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 2.16)? Примените I и II признаки равенства треугольников.

Рис. 2.16

Для измерения расстояния $AB$ между двумя точками, разделенными препятствием, можно использовать методы, основанные на признаках равенства треугольников. Для этого необходимо выбрать третью точку $C$, из которой видны и доступны точки $A$ и $B$.

Применение I признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Первый признак равенства треугольников гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Порядок действий на местности:

1. Выбрать на местности доступную точку $O$, из которой видны точки $A$ и $B$.
2. С помощью рулетки или другого измерительного инструмента измерить расстояния $AO$ и $BO$.
3. Продолжить отрезок $AO$ за точку $O$ и отложить на этой прямой отрезок $OC$, равный отрезку $AO$ ($OC = AO$).
4. Продолжить отрезок $BO$ за точку $O$ и отложить на этой прямой отрезок $OD$, равный отрезку $BO$ ($OD = BO$).
5. Соединить точки $C$ и $D$. Расстояние $CD$ и будет искомым расстоянием $AB$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

• $AO = CO$ по построению.
• $BO = DO$ по построению.
• Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle COD$ как вертикальные углы.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle AOB \cong \triangle COD$. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон, то есть $AB = CD$. Измерив длину отрезка $CD$, мы найдем расстояние $AB$.

Ответ: Нужно выбрать точку $O$, измерить $AO$ и $BO$, продлить эти отрезки за точку $O$ на такие же длины до точек $C$ и $D$ соответственно. Расстояние $CD$ будет равно искомому расстоянию $AB$.

Применение II признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Второй признак равенства треугольников гласит: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Порядок действий на местности:

1. Выбрать на местности доступную точку $C$, из которой видны точки $A$ и $B$.
2. Измерить длину отрезка $AC$ (или $BC$). Для определенности будем считать, что мы измерили $AC$.
3. С помощью угломерного инструмента (например, астролябии или теодолита) измерить углы, прилежащие к этой стороне: $\angle CAB$ (находясь в точке $A$) и $\angle ACB$ (находясь в точке $C$).
4. На доступном ровном участке местности построить отрезок $A'C'$, равный по длине измеренному отрезку $AC$.
5. От луча $A'C'$ отложить угол $\angle C'A'B'$, равный измеренному углу $\angle CAB$.
6. От луча $C'A'$ отложить угол $\angle A'C'B'$, равный измеренному углу $\angle ACB$.
7. Лучи, построенные в пунктах 5 и 6, пересекутся в некоторой точке $B'$.

Доказательство:

Рассмотрим исходный треугольник $\triangle ABC$ и построенный треугольник $\triangle A'B'C'$.

• $AC = A'C'$ по построению.
• $\angle CAB = \angle C'A'B'$ по построению.
• $\angle ACB = \angle A'C'B'$ по построению.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон, то есть $AB = A'B'$. Измерив длину отрезка $A'B'$ на доступной местности, мы найдем искомое расстояние $AB$.

Ответ: Нужно выбрать точку $C$, измерить сторону $AC$ и прилежащие к ней углы $\angle CAB$ и $\angle ACB$. Затем на ровной местности построить треугольник $A'B'C'$ по этим данным ($A'C' = AC$, $\angle C'A'B'=\angle CAB$, $\angle A'C'B'=\angle ACB$). Длина стороны $A'B'$ построенного треугольника будет равна искомому расстоянию $AB$.