Страница 39 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПЗ 1. Начертите треугольник. С помощью линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.

2. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

3. Начертите треугольник $ABC$ с тремя острыми углами и треугольник $MNP$, у которого угол $M$ - тупой. С помощью угольника проведите высоты каждого треугольника.

4. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был:

1) острым;

2) прямым;

3) тупым.

1. Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для построения медиан необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите произвольный треугольник, обозначим его вершины как $A, B, C$.
2. С помощью линейки измерьте длину одной из сторон, например, стороны $BC$.
3. Разделите полученную длину пополам и отметьте на стороне $BC$ точку, которая является ее серединой. Назовем эту точку $M_a$.
4. Соедините отрезком вершину $A$ с найденной точкой $M_a$. Отрезок $AM_a$ является медианой треугольника.
5. Повторите шаги 2-4 для двух других сторон. Найдите середину $M_b$ стороны $AC$ и проведите медиану $BM_b$. Затем найдите середину $M_c$ стороны $AB$ и проведите медиану $CM_c$.

В результате вы получите треугольник с тремя проведенными медианами. Стоит отметить, что все три медианы всегда пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Ответ: Для построения медиан треугольника необходимо измерить каждую сторону линейкой, найти ее середину, разделив длину пополам, а затем соединить каждую вершину с серединой противоположной стороны. В результате будут построены три медианы, пересекающиеся в одной точке.

2. Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который делит этот угол на два равных по величине угла и соединяет вершину с точкой на противоположной стороне. Построение выполняется с помощью транспортира и линейки:

1. Начертите произвольный треугольник, например, $ABC$.
2. С помощью транспортира измерьте величину одного из углов, например, угла при вершине $A$ ($\angle BAC$).
3. Разделите полученное значение угла пополам. Например, если $\angle BAC = 60^\circ$, то половина угла составит $30^\circ$.
4. Приложите транспортир к вершине $A$ и отложите от одной из сторон угла (например, от луча $AB$) внутрь треугольника угол, равный половине вычисленного значения ($30^\circ$).
5. С помощью линейки проведите через вершину $A$ и полученную отметку луч до пересечения с противоположной стороной $BC$. Отрезок от вершины до точки пересечения и есть биссектриса этого угла.
6. Повторите шаги 2-5 для двух других углов треугольника ($\angle B$ и $\angle C$).

Таким образом, в треугольнике будут проведены три биссектрисы. Все они пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.

Ответ: Для построения биссектрис треугольника необходимо с помощью транспортира измерить каждый угол, разделить его величину на два и провести из вершины луч, делящий угол пополам, до пересечения с противоположной стороной. В результате будут построены три биссектрисы, пересекающиеся в одной точке внутри треугольника.

3. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Для построения высот используется угольник (прямоугольный треугольник).

• Остроугольный треугольник ABC:
  1. Начертите треугольник $ABC$, у которого все углы меньше $90^\circ$.
  2. Чтобы провести высоту из вершины $A$, приложите одну сторону прямого угла угольника к стороне $BC$.
  3. Двигайте угольник вдоль прямой $BC$ до тех пор, пока вторая сторона прямого угла не коснется вершины $A$.
  4. Проведите отрезок от $A$ до стороны $BC$ вдоль этой стороны угольника. Это будет высота $AH_a$.
  5. Аналогично постройте высоты из вершин $B$ (к стороне $AC$) и $C$ (к стороне $AB$). В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри него и пересекаются в одной точке — ортоцентре.
• Тупоугольный треугольник MNP (угол M — тупой):
  1. Начертите треугольник $MNP$, у которого угол $M$ больше $90^\circ$.
  2. Высота из вершины с тупым углом ($M$) проводится к противоположной стороне ($NP$) и лежит внутри треугольника. Ее построение аналогично случаю с остроугольным треугольником.
  3. Для проведения высоты из вершины $N$, нужно опустить перпендикуляр на прямую, содержащую сторону $MP$. Поскольку угол $M$ тупой, эта высота упадет на продолжение стороны $MP$ за вершину $M$. Продлите сторону $MP$ и с помощью угольника опустите на эту прямую перпендикуляр из точки $N$.
  4. Аналогично, высота из вершины $P$ опускается на продолжение стороны $MN$ за вершину $M$.
  5. Таким образом, в тупоугольном треугольнике только одна высота находится внутри, а две другие — снаружи. Прямые, на которых лежат эти высоты, также пересекаются в одной точке (ортоцентре), но эта точка находится вне треугольника.

Ответ: Для построения высот используется угольник. В остроугольном треугольнике все три высоты проводятся из вершин перпендикулярно противоположным сторонам, лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке (ортоцентре) внутри него. В тупоугольном треугольнике высота из вершины с тупым углом лежит внутри треугольника, а две другие высоты опускаются на продолжения противоположных сторон и лежат вне треугольника. Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в ортоцентре, расположенном вне треугольника.

4. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны (боковые) и равные углы при основании. Угол, лежащий против основания, называется углом при вершине. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

1) острым;

Чтобы угол при вершине был острым, его величина должна быть меньше $90^\circ$. Возьмем, к примеру, угол при вершине равным $60^\circ$. Тогда на два равных угла при основании остается $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Каждый угол при основании будет равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$. В этом частном случае треугольник будет равносторонним. Для построения можно начертить отрезок-основание, и от его концов с помощью транспортира отложить углы по $60^\circ$. Точка пересечения лучей будет третьей вершиной.

2) прямым;

Чтобы угол при вершине был прямым, его величина должна быть равна $90^\circ$. Тогда на углы при основании остается $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Каждый угол при основании будет равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$. Такой треугольник является прямоугольным равнобедренным. Для построения нужно начертить прямой угол, отложить на его сторонах от вершины равные отрезки (боковые стороны) и соединить их концы (основание).

3) тупым.

Чтобы угол при вершине был тупым, его величина должна быть больше $90^\circ$. Возьмем, например, угол $120^\circ$. Тогда на углы при основании остается $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Каждый угол при основании будет равен $60^\circ / 2 = 30^\circ$. Для построения можно начертить отрезок (боковую сторону), из одного его конца отложить угол $120^\circ$, на второй стороне угла отложить отрезок такой же длины и соединить концы.

Ответ: Построены три равнобедренных треугольника:

1. С острым углом при вершине (меньше $90^\circ$, например, $60^\circ$; углы при основании по $60^\circ$).

2. С прямым углом при вершине ($90^\circ$; углы при основании по $45^\circ$).

3. С тупым углом при вершине (больше $90^\circ$, например, $120^\circ$; углы при основании по $30^\circ$).

1. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника? Какая сторона называется основанием?

2. Какой треугольник называется равносторонним?

3. Что такое высота треугольника?

4. Что такое биссектриса треугольника?

5. Что такое медиана треугольника?

1. Какой треугольник называется равнобедренным? Какие стороны называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника? Какая сторона называется основанием?

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны по длине. Например, в треугольнике $ABC$, если сторона $AB$ равна стороне $BC$ ($AB = BC$), то треугольник $ABC$ является равнобедренным.

Равные стороны равнобедренного треугольника называются боковыми сторонами. В нашем примере это стороны $AB$ и $BC$.

Третья сторона, которая, как правило, не равна боковым, называется основанием. В треугольнике $ABC$ это сторона $AC$. Важным свойством равнобедренного треугольника является то, что углы при основании равны (то есть $\angle BAC = \angle BCA$).

Ответ: Равнобедренным называется треугольник с двумя равными сторонами. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

2. Какой треугольник называется равносторонним?

Треугольник называется равносторонним (или правильным), если все три его стороны равны. Например, если в треугольнике $ABC$ все стороны равны ($AB = BC = AC$), то он является равносторонним.

Равносторонний треугольник является частным случаем равнобедренного, у которого любую пару сторон можно считать боковыми. Все углы равностороннего треугольника также равны и составляют $60^\circ$ каждый.

Ответ: Равносторонним называется треугольник, у которого все три стороны равны.

3. Что такое высота треугольника?

Высота треугольника — это перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, которая содержит противолежащую сторону. Слово "перпендикуляр" означает, что высота образует с этой прямой прямой угол ($90^\circ$).

У каждого треугольника есть три высоты, по одной из каждой вершины. Все три высоты (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром. В остроугольном треугольнике ортоцентр находится внутри, в прямоугольном — в вершине прямого угла, а в тупоугольном — вне треугольника.

Ответ: Высота треугольника — это отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противолежащую сторону или на её продолжение.

4. Что такое биссектриса треугольника?

Биссектриса треугольника — это отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет вершину этого угла с точкой на противолежащей стороне. Биссектриса делит угол, из которого она проведена, на два равных угла.

Каждый треугольник имеет три биссектрисы. Все они пересекаются в одной точке внутри треугольника. Эта точка называется инцентром и является центром окружности, вписанной в треугольник.

Ответ: Биссектриса треугольника — это отрезок, который выходит из вершины угла и делит этот угол пополам, соединяя вершину с противолежащей стороной.

5. Что такое медиана треугольника?

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Таким образом, медиана делит противолежащую сторону на два равных отрезка.

В любом треугольнике можно провести три медианы, по одной из каждой вершины. Все три медианы пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром масс (тяжести) треугольника. Эта точка всегда лежит внутри треугольника и делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Ответ: Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

2.20. Основание равнобедренного треугольника равно 5 см, а боковая сторона равна 6 см. Найдите периметр.

Периметр многоугольника — это сумма длин всех его сторон. Для треугольника со сторонами $a$, $b$ и $c$ периметр $P$ вычисляется по формуле $P = a + b + c$.

В задаче рассматривается равнобедренный треугольник. По определению, у равнобедренного треугольника две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

Согласно условию задачи, нам даны следующие размеры:

- Длина основания равна 5 см.

- Длина боковой стороны равна 6 см.

Так как в равнобедренном треугольнике две боковые стороны имеют одинаковую длину, то длины всех трех сторон треугольника равны 5 см, 6 см и 6 см.

Теперь мы можем вычислить периметр, сложив длины всех сторон:

$P = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} + 6 \text{ см}$

$P = 11 \text{ см} + 6 \text{ см}$

$P = 17 \text{ см}$

Таким образом, периметр данного равнобедренного треугольника составляет 17 см.

Ответ: 17 см.

2.21. Периметр равнобедренного треугольника равен 12 см, а боковая сторона равна 5 см. Найдите основание.

Периметр треугольника $P$ — это сумма длин всех его сторон. У равнобедренного треугольника две стороны (боковые) равны между собой. Обозначим длину боковой стороны как $a$, а длину основания как $b$.

Формула периметра для равнобедренного треугольника:

$P = a + a + b = 2a + b$

Согласно условию задачи, нам известны следующие величины:

Периметр $P = 12$ см.

Боковая сторона $a = 5$ см.

Подставим известные значения в формулу периметра, чтобы найти неизвестное основание $b$:

$12 = 2 \cdot 5 + b$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$:

$12 = 10 + b$

$b = 12 - 10$

$b = 2$

Таким образом, длина основания треугольника составляет 2 см. Проверим, выполняется ли неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон должна быть больше третьей. Стороны равны 5 см, 5 см и 2 см. $5+5 > 2$ (верно) и $5+2 > 5$ (верно). Условие выполняется.

Ответ: 2 см.

2.22. В треугольниках $ABC$ и $PQR$ $AB=PQ$, $AC=PR$ и $BC=QR$, $\angle Q = 50^\circ$. Найдите $\angle B$.

Рассмотрим треугольники $ABC$ и $PQR$. По условию задачи нам даны следующие равенства сторон:

$AB = PQ$

$AC = PR$

$BC = QR$

Поскольку три стороны треугольника $ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $PQR$, мы можем применить третий признак равенства треугольников (по трем сторонам, SSS). Согласно этому признаку, треугольники $ABC$ и $PQR$ равны.

$ \triangle ABC = \triangle PQR $

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углы, лежащие напротив равных сторон, являются соответствующими и, следовательно, равными.

В треугольнике $ABC$ угол $B$ лежит напротив стороны $AC$.

В треугольнике $PQR$ угол $Q$ лежит напротив стороны $PR$.

Так как по условию $AC = PR$, то соответствующие углы $B$ и $Q$ равны:

$ \angle B = \angle Q $

Нам известно, что $ \angle Q = 50^\circ $.

Следовательно, $ \angle B $ также равен $ 50^\circ $.

Ответ: $ \angle B = 50^\circ $.

2.23. В треугольниках $MNK$ и $PQR$ $MN=PQ$, $MK=PR$ и $NK=QR$, $\angle M=60$. Найдите смежный угол при вершине $P$.

Рассмотрим треугольники $MNK$ и $PQR$. По условию задачи нам даны следующие равенства сторон:

$MN = PQ$

$MK = PR$

$NK = QR$

Поскольку три стороны треугольника $MNK$ соответственно равны трем сторонам треугольника $PQR$, эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам). Следовательно, $\triangle MNK \cong \triangle PQR$.

В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Угол $M$ в треугольнике $MNK$ лежит напротив стороны $NK$. Угол $P$ в треугольнике $PQR$ лежит напротив стороны $QR$. Так как по условию $NK = QR$, то и углы, лежащие напротив этих сторон, равны:

$\angle P = \angle M$

Из условия задачи известно, что $\angle M = 60^\circ$. Значит, $\angle P$ также равен $60^\circ$.

Смежный угол — это угол, который вместе с данным углом составляет развернутый угол, то есть $180^\circ$. Найдем смежный угол при вершине $P$:

$180^\circ - \angle P = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

2.24. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$, причем $AD = BC$, $AB = CD$ и $\angle ABC = 75^\circ$. Найдите $\angle ADC$ (рис. 2.26).

Рис. 2.26

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Для этих треугольников по условию задачи известно, что:

1. $AD = BC$;

2. $AB = CD$;

3. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, $\triangle ABC = \triangle CDA$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

В равных треугольниках соответствующие углы равны. Углы, лежащие напротив равных сторон, являются соответствующими. В треугольнике $\triangle ABC$ угол $\angle ABC$ лежит напротив общей стороны $AC$. В треугольнике $\triangle CDA$ угол $\angle ADC$ также лежит напротив общей стороны $AC$.

Следовательно, $\angle ADC = \angle ABC$.

Поскольку по условию $\angle ABC = 75^\circ$, то $\angle ADC = 75^\circ$.

Ответ: $75^\circ$.