Практические задания, страница 39 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПЗ 1. Начертите треугольник. С помощью линейки отметьте середины сторон и проведите медианы треугольника.

2. Начертите треугольник. С помощью транспортира и линейки проведите его биссектрисы.

3. Начертите треугольник $ABC$ с тремя острыми углами и треугольник $MNP$, у которого угол $M$ - тупой. С помощью угольника проведите высоты каждого треугольника.

4. Начертите три равнобедренных треугольника так, чтобы угол, лежащий против основания, был:

1) острым;

2) прямым;

3) тупым.

1. Медиана треугольника — это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для построения медиан необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите произвольный треугольник, обозначим его вершины как $A, B, C$.
2. С помощью линейки измерьте длину одной из сторон, например, стороны $BC$.
3. Разделите полученную длину пополам и отметьте на стороне $BC$ точку, которая является ее серединой. Назовем эту точку $M_a$.
4. Соедините отрезком вершину $A$ с найденной точкой $M_a$. Отрезок $AM_a$ является медианой треугольника.
5. Повторите шаги 2-4 для двух других сторон. Найдите середину $M_b$ стороны $AC$ и проведите медиану $BM_b$. Затем найдите середину $M_c$ стороны $AB$ и проведите медиану $CM_c$.

В результате вы получите треугольник с тремя проведенными медианами. Стоит отметить, что все три медианы всегда пересекаются в одной точке, которая называется центроидом или центром тяжести треугольника.

Ответ: Для построения медиан треугольника необходимо измерить каждую сторону линейкой, найти ее середину, разделив длину пополам, а затем соединить каждую вершину с серединой противоположной стороны. В результате будут построены три медианы, пересекающиеся в одной точке.

2. Биссектриса угла треугольника — это отрезок, который делит этот угол на два равных по величине угла и соединяет вершину с точкой на противоположной стороне. Построение выполняется с помощью транспортира и линейки:

1. Начертите произвольный треугольник, например, $ABC$.
2. С помощью транспортира измерьте величину одного из углов, например, угла при вершине $A$ ($\angle BAC$).
3. Разделите полученное значение угла пополам. Например, если $\angle BAC = 60^\circ$, то половина угла составит $30^\circ$.
4. Приложите транспортир к вершине $A$ и отложите от одной из сторон угла (например, от луча $AB$) внутрь треугольника угол, равный половине вычисленного значения ($30^\circ$).
5. С помощью линейки проведите через вершину $A$ и полученную отметку луч до пересечения с противоположной стороной $BC$. Отрезок от вершины до точки пересечения и есть биссектриса этого угла.
6. Повторите шаги 2-5 для двух других углов треугольника ($\angle B$ и $\angle C$).

Таким образом, в треугольнике будут проведены три биссектрисы. Все они пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной в треугольник окружности.

Ответ: Для построения биссектрис треугольника необходимо с помощью транспортира измерить каждый угол, разделить его величину на два и провести из вершины луч, делящий угол пополам, до пересечения с противоположной стороной. В результате будут построены три биссектрисы, пересекающиеся в одной точке внутри треугольника.

3. Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины на прямую, содержащую противоположную сторону. Для построения высот используется угольник (прямоугольный треугольник).

• Остроугольный треугольник ABC:
  1. Начертите треугольник $ABC$, у которого все углы меньше $90^\circ$.
  2. Чтобы провести высоту из вершины $A$, приложите одну сторону прямого угла угольника к стороне $BC$.
  3. Двигайте угольник вдоль прямой $BC$ до тех пор, пока вторая сторона прямого угла не коснется вершины $A$.
  4. Проведите отрезок от $A$ до стороны $BC$ вдоль этой стороны угольника. Это будет высота $AH_a$.
  5. Аналогично постройте высоты из вершин $B$ (к стороне $AC$) и $C$ (к стороне $AB$). В остроугольном треугольнике все три высоты лежат внутри него и пересекаются в одной точке — ортоцентре.
• Тупоугольный треугольник MNP (угол M — тупой):
  1. Начертите треугольник $MNP$, у которого угол $M$ больше $90^\circ$.
  2. Высота из вершины с тупым углом ($M$) проводится к противоположной стороне ($NP$) и лежит внутри треугольника. Ее построение аналогично случаю с остроугольным треугольником.
  3. Для проведения высоты из вершины $N$, нужно опустить перпендикуляр на прямую, содержащую сторону $MP$. Поскольку угол $M$ тупой, эта высота упадет на продолжение стороны $MP$ за вершину $M$. Продлите сторону $MP$ и с помощью угольника опустите на эту прямую перпендикуляр из точки $N$.
  4. Аналогично, высота из вершины $P$ опускается на продолжение стороны $MN$ за вершину $M$.
  5. Таким образом, в тупоугольном треугольнике только одна высота находится внутри, а две другие — снаружи. Прямые, на которых лежат эти высоты, также пересекаются в одной точке (ортоцентре), но эта точка находится вне треугольника.

Ответ: Для построения высот используется угольник. В остроугольном треугольнике все три высоты проводятся из вершин перпендикулярно противоположным сторонам, лежат внутри треугольника и пересекаются в одной точке (ортоцентре) внутри него. В тупоугольном треугольнике высота из вершины с тупым углом лежит внутри треугольника, а две другие высоты опускаются на продолжения противоположных сторон и лежат вне треугольника. Прямые, содержащие все три высоты, пересекаются в ортоцентре, расположенном вне треугольника.

4. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны (боковые) и равные углы при основании. Угол, лежащий против основания, называется углом при вершине. Сумма углов треугольника равна $180^\circ$.

1) острым;

Чтобы угол при вершине был острым, его величина должна быть меньше $90^\circ$. Возьмем, к примеру, угол при вершине равным $60^\circ$. Тогда на два равных угла при основании остается $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$. Каждый угол при основании будет равен $120^\circ / 2 = 60^\circ$. В этом частном случае треугольник будет равносторонним. Для построения можно начертить отрезок-основание, и от его концов с помощью транспортира отложить углы по $60^\circ$. Точка пересечения лучей будет третьей вершиной.

2) прямым;

Чтобы угол при вершине был прямым, его величина должна быть равна $90^\circ$. Тогда на углы при основании остается $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Каждый угол при основании будет равен $90^\circ / 2 = 45^\circ$. Такой треугольник является прямоугольным равнобедренным. Для построения нужно начертить прямой угол, отложить на его сторонах от вершины равные отрезки (боковые стороны) и соединить их концы (основание).

3) тупым.

Чтобы угол при вершине был тупым, его величина должна быть больше $90^\circ$. Возьмем, например, угол $120^\circ$. Тогда на углы при основании остается $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Каждый угол при основании будет равен $60^\circ / 2 = 30^\circ$. Для построения можно начертить отрезок (боковую сторону), из одного его конца отложить угол $120^\circ$, на второй стороне угла отложить отрезок такой же длины и соединить концы.

Ответ: Построены три равнобедренных треугольника:

1. С острым углом при вершине (меньше $90^\circ$, например, $60^\circ$; углы при основании по $60^\circ$).

2. С прямым углом при вершине ($90^\circ$; углы при основании по $45^\circ$).

3. С тупым углом при вершине (больше $90^\circ$, например, $120^\circ$; углы при основании по $30^\circ$).