Номер 2.17, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.17. 1) На рисунке 2.14 $\angle DAC = \angle DBC, AK = KB$. Докажите, что $\angle DAB = \angle CBA$.

2) Точки $C$ и $D$ расположены по разные стороны от прямой $AB$ так, что $\angle ABC = \angle ABD, BD = BC$. Докажите, что $AB$ — биссектриса угла $DAC$.

Рис. 2.14

1)

Рассмотрим треугольник $AKB$. По условию $AK = KB$, из этого следует, что треугольник $AKB$ является равнобедренным с основанием $AB$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle KAB = \angle KBA$.

Поскольку точка $K$ — это точка пересечения отрезков $AC$ и $BD$, то угол $\angle KAB$ — это то же самое, что и угол $\angle CAB$, а угол $\angle KBA$ — то же самое, что и угол $\angle DBA$. Таким образом, мы можем утверждать, что $\angle CAB = \angle DBA$.

Теперь рассмотрим углы $\angle DAB$ и $\angle CBA$. Каждый из них можно представить в виде суммы двух углов:

$\angle DAB = \angle DAC + \angle CAB$

$\angle CBA = \angle CBD + \angle DBA$

Из условия задачи нам известно, что $\angle DAC = \angle DBC$. Как было доказано выше, $\angle CAB = \angle DBA$. Мы видим, что правые части выражений для $\angle DAB$ и $\angle CBA$ состоят из попарно равных слагаемых. Следовательно, эти выражения равны между собой.

Таким образом, $\angle DAB = \angle CBA$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2)

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$. У них есть общая сторона $AB$. По условию задачи, точки $C$ и $D$ расположены по разные стороны от прямой $AB$, а также даны следующие равенства: $BC = BD$ и $\angle ABC = \angle ABD$.

Сравним треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

• $BC = BD$ (по условию)
• $\angle ABC = \angle ABD$ (по условию)
• $AB$ — общая сторона

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle ABD$.

Из того, что треугольники равны, следует, что их соответствующие элементы также равны. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы.

В треугольнике $\triangle ABC$ напротив стороны $BC$ находится угол $\angle CAB$. В треугольнике $\triangle ABD$ напротив стороны $BD$ находится угол $\angle DAB$.

Поскольку стороны $BC$ и $BD$ равны, то и противолежащие им углы равны: $\angle CAB = \angle DAB$.

Равенство углов $\angle CAB$ и $\angle DAB$ означает, что луч $AB$ делит угол $\angle DAC$ на два равных угла, то есть является его биссектрисой. Это и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.