Номер 2.11, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.11. В треугольнике CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E – на отрезке AD, причем $\angle ACD = \angle ADC$, $AC = AD$ и $AB = AE$. Докажите, что $\angle CBD = \angle DEC$.

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $EDC$.

По условию задачи, точка $B$ лежит на отрезке $AC$, а точка $E$ — на отрезке $AD$. Это позволяет нам выразить длины отрезков $CB$ и $ED$ через длины данных отрезков:

$CB = AC - AB$

$ED = AD - AE$

В условии сказано, что $AC = AD$ и $AB = AE$. Если из равных величин вычесть равные величины, то разности также будут равны. Таким образом, $AC - AB = AD - AE$, из чего следует, что сторона $CB$ равна стороне $ED$.

Также, по условию, $\angle ACD = \angle ADC$. Поскольку точка $B$ лежит на прямой $AC$, а точка $E$ — на прямой $AD$, то угол $\angle ACD$ совпадает с углом $\angle BCD$, а угол $\angle ADC$ совпадает с углом $\angle EDC$. Следовательно, $\angle BCD = \angle EDC$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $BCD$ и $EDC$. У них:

• $CB = ED$ (как доказано выше);
• $\angle BCD = \angle EDC$ (из условия);
• Сторона $CD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $BCD$ и $EDC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

$\triangle BCD = \triangle EDC$ (по признаку SAS).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. В треугольнике $BCD$ угол $\angle CBD$ лежит напротив стороны $CD$. В треугольнике $EDC$ угол $\angle DEC$ лежит напротив стороны $DC$. Так как стороны равны ($CD = DC$), то и противолежащие им углы равны.

Следовательно, $\angle CBD = \angle DEC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle CBD = \angle DEC$ доказано на основе равенства треугольников $BCD$ и $EDC$ по первому признаку.