Номер 2.4, страница 33 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.4. 1) На рисунке 2.6 $\angle 1 = \angle 2$ и $DC = CE$. Докажите, что $BC = AC$;

2) На рисунке 2.7 $\triangle ADB = \triangle CBD$. Докажите, что $AB = CD$ и $BC = AD$.

Рис. 2.6

Рис. 2.7

1) Рассмотрим треугольники $\triangle BDC$ и $\triangle AEC$.

Сравним эти треугольники. Нам известно:

1. $DC = CE$ по условию задачи.

2. $\angle 1 = \angle 2$, что в обозначениях вершин треугольников означает $\angle BDC = \angle AEC$, также по условию.

3. Углы $\angle BCD$ и $\angle ACE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $AE$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle BCD = \angle ACE$.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle BDC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle AEC$).

Следовательно, $\triangle BDC = \triangle AEC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. Сторона $BC$ в треугольнике $\triangle BDC$ лежит напротив угла $\angle BDC$. Сторона $AC$ в треугольнике $\triangle AEC$ лежит напротив равного ему угла $\angle AEC$. Значит, стороны $BC$ и $AC$ являются соответствующими, и поэтому они равны: $BC = AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) По условию задачи дано равенство треугольников: $\triangle ADB = \triangle CBD$. Это означает, что данные треугольники равны (конгруэнтны).

У равных треугольников соответствующие стороны и углы равны. Соответствие между сторонами определяется порядком вершин в записи равенства треугольников.

Исходя из записи $\triangle ADB = \triangle CBD$, мы можем установить следующие соответствия для сторон:

- Сторона $AB$ (вершины 1 и 3) в $\triangle ADB$ соответствует стороне $CD$ (вершины 1 и 3) в $\triangle CBD$. Следовательно, $AB = CD$.

- Сторона $AD$ (вершины 1 и 2) в $\triangle ADB$ соответствует стороне $CB$ (вершины 1 и 2) в $\triangle CBD$. Следовательно, $AD = CB$, что эквивалентно $BC = AD$.

Таким образом, равенства $AB = CD$ и $BC = AD$ являются прямым следствием из условия, что $\triangle ADB = \triangle CBD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.