Номер 2.5, страница 33 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.5. 1) На рисунке 2.8 $FO = OL$, $\angle EFO = \angle OLK$. Докажите, что $EF = KL$;

2) На рисунке 2.9 $\angle BAC = \angle DAC$, $\angle ACB = \angle ACD$. Докажите, что $AB = AD$.

Рис. 2.8

Рис. 2.9

1) Рассмотрим треугольники $EFO$ и $KLO$. Для доказательства равенства сторон $EF$ и $KL$ докажем равенство этих треугольников.

В $\triangle EFO$ и $\triangle KLO$:

1. $FO = OL$ (по условию, отмечено одинаковыми штрихами на рисунке 2.8).

2. $\angle EFO = \angle OLK$ (по условию, отмечено одинаковыми дугами).

3. $\angle FOE = \angle LOK$ (как вертикальные углы при пересечении отрезков $FL$ и $EK$).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle EFO$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle KLO$).

Следовательно, $\triangle EFO \cong \triangle KLO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $EF$ лежит напротив угла $\angle FOE$, а сторона $KL$ — напротив равного ему угла $\angle LOK$. Значит, $EF = KL$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство сторон $EF = KL$ доказано.

2) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$, образованные диагональю $AC$. Для доказательства равенства сторон $AB$ и $AD$ докажем равенство этих треугольников.

В $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

1. $\angle BAC = \angle DAC$ (по условию, отмечено одинаковыми дугами на рисунке 2.9).

2. $\angle ACB = \angle ACD$ (по условию, отмечено двойными дугами).

3. $AC$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle ADC$).

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ACB$, а сторона $AD$ — напротив равного ему угла $\angle ACD$. Значит, $AB = AD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство сторон $AB = AD$ доказано.