Страница 33 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.1. Отрезки AE и DC пересекаются в точке B, являющейся серединой каждого из них.

1) Докажите, что $\triangle ABC = \triangle BED$.

2) Найдите $\angle A$ и $\angle C$ треугольника ABC, если в треугольнике BDE $\angle D = 47^{\circ}$, $\angle E = 42^{\circ}$.

1) Докажите, что ΔABC = ΔBED.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EBD$.

По условию задачи, отрезки AE и DC пересекаются в точке B, которая является серединой каждого из них. Из этого следует:

1. $AB = BE$, так как B — середина отрезка AE.

2. $BC = BD$, так как B — середина отрезка DC.

Углы $\angle ABC$ и $\angle EBD$ являются вертикальными, поскольку они образованы при пересечении прямых AE и DC. Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $\angle ABC = \angle EBD$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle EBD$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AB = BE$, $BC = BD$, $\angle ABC = \angle EBD$).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle EBD$.

Поскольку треугольник $\triangle EBD$ и треугольник $\triangle BED$ (указанный в условии) обозначают одну и ту же фигуру, то равенство $\triangle ABC = \triangle BED$ доказано.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle BED$ доказано.

2) Найдите ∠A и ∠C треугольника ABC, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E = 42°.

Из доказанного в пункте 1 равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle EBD$) следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, равны их углы при соответствующих вершинах. Соответствие вершин следующее: A ↔ E, C ↔ D.

Следовательно, $\angle A$ треугольника $\triangle ABC$ равен $\angle E$ треугольника $\triangle EBD$, а $\angle C$ треугольника $\triangle ABC$ равен $\angle D$ треугольника $\triangle EBD$.

$\angle A = \angle E$

$\angle C = \angle D$

По условию задачи, в треугольнике BDE даны значения углов: $\angle D = 47^\circ$ и $\angle E = 42^\circ$.

Подставляя эти значения, находим искомые углы треугольника ABC:

$\angle A = 42^\circ$

$\angle C = 47^\circ$

Ответ: $\angle A = 42^\circ, \angle C = 47^\circ$.

2.2. На рисунке 2.4 $AB = AC$, $\angle 1 = \angle 2$.

1) Докажите, что $\triangle ABD = \triangle ACD$.

2) Найдите BD и AB, если $AC = 15$ см, $DC = 5$ см.

Рис. 2.4

1)

Рассмотрим треугольники $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACD $. Для доказательства их равенства воспользуемся первым признаком равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

1. Сторона $AB$ треугольника $ \triangle ABD $ равна стороне $AC$ треугольника $ \triangle ACD $ по условию задачи ($AB = AC$).

2. Угол $\angle 1$ (он же $\angle BAD$) равен углу $\angle 2$ (он же $\angle CAD$) также по условию задачи.

3. Сторона $AD$ является общей для обоих треугольников.

Поскольку две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то треугольники равны.

Следовательно, $ \triangle ABD = \triangle ACD $. Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $ \triangle ABD $ и $ \triangle ACD $ доказано на основании первого признака равенства треугольников.

2)

Из равенства треугольников $ \triangle ABD = \triangle ACD $, которое было доказано в пункте 1, следует, что все их соответствующие элементы равны. В частности, равны их соответствующие стороны.

- Сторона $BD$ треугольника $ \triangle ABD $ соответствует стороне $DC$ треугольника $ \triangle ACD $, поэтому $BD = DC$.

- Сторона $AB$ треугольника $ \triangle ABD $ соответствует стороне $AC$ треугольника $ \triangle ACD $, поэтому $AB = AC$.

По условию задачи даны длины сторон: $AC = 15$ см и $DC = 5$ см.

Используя эти данные, находим искомые длины:

$BD = DC = 5$ см.

$AB = AC = 15$ см.

Ответ: $BD = 5$ см, $AB = 15$ см.

2.3. На рисунке 2.5 $BC = AD$, $\angle 1 = \angle 2$.

1) Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$;

2) Найдите $AB$ и $BC$, если $AD = 17 \text{ см}$, $DC = 14 \text{ см}$.

Рис. 2.5

1)

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

По условию задачи $BC = AD$ и $\angle 1 = \angle 2$. Угол $\angle 1$ — это $\angle BCA$, а угол $\angle 2$ — это $\angle DAC$. Сторона $AC$ является общей для этих двух треугольников.

Таким образом, мы имеем две стороны и угол между ними в $\triangle ABC$, которые соответственно равны двум сторонам и углу между ними в $\triangle CDA$:

1. $BC = AD$ (по условию).

2. $\angle BCA = \angle DAC$ (по условию).

3. $AC$ — общая сторона.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle CDA$ доказано.

2)

Из доказанного в пункте 1 равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle CDA$) следует, что их соответствующие стороны равны.

Стороне $AB$ треугольника $ABC$ соответствует сторона $CD$ треугольника $CDA$.

Стороне $BC$ треугольника $ABC$ соответствует сторона $DA$ треугольника $CDA$.

Таким образом, $AB = CD$ и $BC = DA$.

По условию задачи $AD = 17$ см и $DC = 14$ см.

Следовательно, находим искомые стороны:

$AB = DC = 14$ см.

$BC = AD = 17$ см.

Ответ: $AB = 14$ см, $BC = 17$ см.

2.4. 1) На рисунке 2.6 $\angle 1 = \angle 2$ и $DC = CE$. Докажите, что $BC = AC$;

2) На рисунке 2.7 $\triangle ADB = \triangle CBD$. Докажите, что $AB = CD$ и $BC = AD$.

Рис. 2.6

Рис. 2.7

1) Рассмотрим треугольники $\triangle BDC$ и $\triangle AEC$.

Сравним эти треугольники. Нам известно:

1. $DC = CE$ по условию задачи.

2. $\angle 1 = \angle 2$, что в обозначениях вершин треугольников означает $\angle BDC = \angle AEC$, также по условию.

3. Углы $\angle BCD$ и $\angle ACE$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении отрезков $AE$ и $BD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle BCD = \angle ACE$.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle BDC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle AEC$).

Следовательно, $\triangle BDC = \triangle AEC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие стороны. Сторона $BC$ в треугольнике $\triangle BDC$ лежит напротив угла $\angle BDC$. Сторона $AC$ в треугольнике $\triangle AEC$ лежит напротив равного ему угла $\angle AEC$. Значит, стороны $BC$ и $AC$ являются соответствующими, и поэтому они равны: $BC = AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2) По условию задачи дано равенство треугольников: $\triangle ADB = \triangle CBD$. Это означает, что данные треугольники равны (конгруэнтны).

У равных треугольников соответствующие стороны и углы равны. Соответствие между сторонами определяется порядком вершин в записи равенства треугольников.

Исходя из записи $\triangle ADB = \triangle CBD$, мы можем установить следующие соответствия для сторон:

- Сторона $AB$ (вершины 1 и 3) в $\triangle ADB$ соответствует стороне $CD$ (вершины 1 и 3) в $\triangle CBD$. Следовательно, $AB = CD$.

- Сторона $AD$ (вершины 1 и 2) в $\triangle ADB$ соответствует стороне $CB$ (вершины 1 и 2) в $\triangle CBD$. Следовательно, $AD = CB$, что эквивалентно $BC = AD$.

Таким образом, равенства $AB = CD$ и $BC = AD$ являются прямым следствием из условия, что $\triangle ADB = \triangle CBD$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2.5. 1) На рисунке 2.8 $FO = OL$, $\angle EFO = \angle OLK$. Докажите, что $EF = KL$;

2) На рисунке 2.9 $\angle BAC = \angle DAC$, $\angle ACB = \angle ACD$. Докажите, что $AB = AD$.

Рис. 2.8

Рис. 2.9

1) Рассмотрим треугольники $EFO$ и $KLO$. Для доказательства равенства сторон $EF$ и $KL$ докажем равенство этих треугольников.

В $\triangle EFO$ и $\triangle KLO$:

1. $FO = OL$ (по условию, отмечено одинаковыми штрихами на рисунке 2.8).

2. $\angle EFO = \angle OLK$ (по условию, отмечено одинаковыми дугами).

3. $\angle FOE = \angle LOK$ (как вертикальные углы при пересечении отрезков $FL$ и $EK$).

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle EFO$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle KLO$).

Следовательно, $\triangle EFO \cong \triangle KLO$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $EF$ лежит напротив угла $\angle FOE$, а сторона $KL$ — напротив равного ему угла $\angle LOK$. Значит, $EF = KL$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство сторон $EF = KL$ доказано.

2) Рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$, образованные диагональю $AC$. Для доказательства равенства сторон $AB$ и $AD$ докажем равенство этих треугольников.

В $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$:

1. $\angle BAC = \angle DAC$ (по условию, отмечено одинаковыми дугами на рисунке 2.9).

2. $\angle ACB = \angle ACD$ (по условию, отмечено двойными дугами).

3. $AC$ — общая сторона для обоих треугольников.

Таким образом, сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($\triangle ADC$).

Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle ADC$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).

В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Сторона $AB$ лежит напротив угла $\angle ACB$, а сторона $AD$ — напротив равного ему угла $\angle ACD$. Значит, $AB = AD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство сторон $AB = AD$ доказано.