Страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.6. На рисунке 2.10 $ \angle MNK=\angle PKN $, $ \angle PNK = \angle MKN $, $ \angle NMK = 137^\circ $. Найдите $ \angle 1 $.

Рис. 2.10

Рассмотрим треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle PKN$.

В этих треугольниках сторона $NK$ является общей. По условию задачи даны равенства углов, прилежащих к этой стороне: $\angle MNK = \angle PKN$ и $\angle MKN = \angle PNK$.

Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle MNK = \triangle PKN$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Углы $\angle NMK$ и $\angle KPN$ лежат против общей стороны $NK$ в треугольниках $\triangle MNK$ и $\triangle PKN$ соответственно, значит, они равны.

$\angle KPN = \angle NMK$

По условию задачи $\angle NMK = 137^\circ$, следовательно, $\angle KPN = 137^\circ$.

Угол $\angle 1$ и угол $\angle KPN$ являются смежными, так как они имеют общую сторону $NP$, а две другие стороны являются продолжениями друг друга и образуют прямую линию. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle 1 + \angle KPN = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle KPN$:

$\angle 1 + 137^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим $\angle 1$:

$\angle 1 = 180^\circ - 137^\circ = 43^\circ$

Ответ: $43^\circ$.

2.7. На рисунке 2.11 $AB = AD$, $\angle BAC = \angle DAC$, $\angle ACB = 121^\circ$. Найдите $\angle 1$.

Рис. 2.11

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. В этих треугольниках сторона $AC$ является общей. По условию задачи нам дано, что $AB = AD$ и $\angle BAC = \angle DAC$. Таким образом, две стороны и угол между ними треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $\triangle ADC$.

Согласно первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle ADC$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle ACB$ в треугольнике $\triangle ABC$ соответствует углу $\angle ACD$ в треугольнике $\triangle ADC$. Следовательно, $\angle ACD = \angle ACB$.

На рисунке искомый угол $\angle 1$ — это угол $\angle ACD$. По условию $\angle ACB = 121^\circ$. Отсюда получаем, что $\angle 1 = \angle ACD = 121^\circ$.

Ответ: $121^\circ$.

2.8. На рисунке 2.12 $OA = OD$, $OB = OC$, $\angle 1 = 74^\circ$, $\angle 2 = 36^\circ$.

1) Докажите, что $\triangle AOB = \triangle DOC$;

2) Найдите $\angle ACD$.

Рис. 2.12

1) Докажите, что ΔAOB = ΔDOC

Рассмотрим треугольники $ΔAOB$ и $ΔDOC$.

По условию задачи нам дано, что $OA = OD$ и $OB = OC$.

Углы $\angle AOB$ и $\angle DOC$ являются вертикальными, так как они образованы при пересечении прямых $AD$ и $BC$. Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOB = \angle DOC$.

Таким образом, мы имеем две стороны ($OA$ и $OB$) и угол между ними ($\angle AOB$) в треугольнике $ΔAOB$, которые соответственно равны двум сторонам ($OD$ и $OC$) и углу между ними ($\angle DOC$) в треугольнике $ΔDOC$.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $ΔAOB = ΔDOC$.

Ответ: Равенство треугольников $ΔAOB$ и $ΔDOC$ доказано.

2) Найдите ∠ACD

Из доказанного в пункте 1 равенства треугольников ($ΔAOB = ΔDOC$) следует, что их соответствующие углы равны. В частности, угол $\angle OBA$ равен соответствующему ему углу $\angle OCD$.

По условию дано, что $\angle 1 = \angle OBA = 74°$.

Отсюда следует, что $\angle OCD = 74°$.

Угол $\angle ACD$ состоит из суммы двух углов: $\angle OCA$ и $\angle OCD$. Это видно из рисунка, где луч $OC$ делит угол $\angle ACD$ на две части.

Математически это записывается как: $\angle ACD = \angle OCA + \angle OCD$.

По условию задачи, $\angle 2 = \angle OCA = 36°$.

Теперь мы можем вычислить искомый угол, подставив известные значения:

$\angle ACD = 36° + 74° = 110°$.

Ответ: $110°$.

2.9. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Дано:

Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. По условию задачи, отрезки в точке пересечения делятся пополам, это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle CDA$

Доказательство:

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ воспользуемся одним из признаков равенства треугольников. Мы докажем их равенство по третьему признаку (по трем сторонам). Для этого нам нужно последовательно доказать равенство всех трех пар соответственных сторон.

1. Сначала докажем, что сторона $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $CD$ треугольника $\triangle CDA$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, образованные при пересечении отрезков.

• $AO = OC$ (по условию задачи).
• $BO = OD$ (по условию задачи).
• $\angle AOB = \angle COD$ (так как эти углы являются вертикальными).

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон, то есть $AB = CD$.

2. Теперь докажем, что сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $DA$ треугольника $\triangle CDA$. Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

• $BO = OD$ (по условию задачи).
• $OC = AO$ (по условию задачи).
• $\angle BOC = \angle DOA$ (так как эти углы являются вертикальными).

Следовательно, $\triangle BOC = \triangle DOA$ по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что их соответственные стороны равны, то есть $BC = DA$.

3. Наконец, рассмотрим третью пару сторон. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников, $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Таким образом, мы установили, что все три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого:

• $AB = CD$
• $BC = DA$
• $AC$ — общая сторона

Значит, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ доказано.

2.10. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$, $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ отмечены точки $P$ и $P_1$ так, что $AP = A_1P_1$. Докажите, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$.

Для доказательства того, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$, мы будем использовать метод пошагового сравнения элементов этих треугольников, предварительно установив равенство исходных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Из условия задачи нам известно, что:

• $AB = A_1B_1$
• $AC = A_1C_1$
• $\angle A = \angle A_1$

Эти три условия соответствуют первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, мы можем сделать вывод, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

2. Из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих сторон и углов. Для нашего доказательства наиболее важны следующие равенства:

• $BC = B_1C_1$
• $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (или для краткости $\angle B = \angle B_1$)

3. Теперь найдем длины отрезков $BP$ и $B_1P_1$. Точка $P$ находится на стороне $AB$, поэтому длина стороны $AB$ является суммой длин отрезков $AP$ и $PB$. Это можно записать как $AB = AP + PB$. Выразим отсюда $PB$:

$PB = AB - AP$

Аналогично, точка $P_1$ находится на стороне $A_1B_1$, поэтому $A_1B_1 = A_1P_1 + P_1B_1$. Выразим $P_1B_1$:

$P_1B_1 = A_1B_1 - A_1P_1$

По условию задачи мы знаем, что $AB = A_1B_1$ и $AP = A_1P_1$. Подставив эти равенства в полученные выражения, мы можем заключить, что:

$PB = AB - AP = A_1B_1 - A_1P_1 = P_1B_1$

Таким образом, мы доказали, что $BP = B_1P_1$.

4. Наконец, докажем равенство треугольников $BPC$ и $B_1P_1C_1$. Сравним их, используя первый признак равенства треугольников:

• Сторона $BP$ в $\triangle BPC$ равна стороне $B_1P_1$ в $\triangle B_1P_1C_1$ (как доказано в шаге 3).
• Угол $\angle PBC$ (то есть $\angle B$) в $\triangle BPC$ равен углу $\angle P_1B_1C_1$ (то есть $\angle B_1$) в $\triangle B_1P_1C_1$ (как следует из шага 2).
• Сторона $BC$ в $\triangle BPC$ равна стороне $B_1C_1$ в $\triangle B_1P_1C_1$ (как следует из шага 2).

Поскольку две стороны и угол между ними треугольника $BPC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $B_1P_1C_1$, мы заключаем, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$ доказано.

2.11. В треугольнике CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E – на отрезке AD, причем $\angle ACD = \angle ADC$, $AC = AD$ и $AB = AE$. Докажите, что $\angle CBD = \angle DEC$.

Рассмотрим треугольники $BCD$ и $EDC$.

По условию задачи, точка $B$ лежит на отрезке $AC$, а точка $E$ — на отрезке $AD$. Это позволяет нам выразить длины отрезков $CB$ и $ED$ через длины данных отрезков:

$CB = AC - AB$

$ED = AD - AE$

В условии сказано, что $AC = AD$ и $AB = AE$. Если из равных величин вычесть равные величины, то разности также будут равны. Таким образом, $AC - AB = AD - AE$, из чего следует, что сторона $CB$ равна стороне $ED$.

Также, по условию, $\angle ACD = \angle ADC$. Поскольку точка $B$ лежит на прямой $AC$, а точка $E$ — на прямой $AD$, то угол $\angle ACD$ совпадает с углом $\angle BCD$, а угол $\angle ADC$ совпадает с углом $\angle EDC$. Следовательно, $\angle BCD = \angle EDC$.

Теперь мы можем сравнить треугольники $BCD$ и $EDC$. У них:

• $CB = ED$ (как доказано выше);
• $\angle BCD = \angle EDC$ (из условия);
• Сторона $CD$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, треугольники $BCD$ и $EDC$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

$\triangle BCD = \triangle EDC$ (по признаку SAS).

Из равенства треугольников следует равенство их соответственных углов. В равных треугольниках напротив равных сторон лежат равные углы. В треугольнике $BCD$ угол $\angle CBD$ лежит напротив стороны $CD$. В треугольнике $EDC$ угол $\angle DEC$ лежит напротив стороны $DC$. Так как стороны равны ($CD = DC$), то и противолежащие им углы равны.

Следовательно, $\angle CBD = \angle DEC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle CBD = \angle DEC$ доказано на основе равенства треугольников $BCD$ и $EDC$ по первому признаку.

2.12. Через концы отрезка $AB$ проведены параллельные прямые $AC$ и $BD$ так, что $\angle ABD = \angle BAC$, и через середину $O$ отрезка $AB$ проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках $C$ и $D$. Найдите расстояние $AC$, если $BD = 8$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

1. По условию задачи, точка $O$ является серединой отрезка $AB$, следовательно, стороны треугольников $AO$ и $OB$ равны: $AO = OB$.

2. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$.

3. По условию прямые $AC$ и $BD$ параллельны ($AC \parallel BD$). Прямая $AB$ является для них секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle CAO$ (он же $\angle BAC$) и $\angle DBO$ (он же $\angle ABD$) равны. Условие $\angle ABD = \angle BAC$ подтверждает этот факт.

Таким образом, треугольник $\triangle AOC$ равен треугольнику $\triangle BOD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум углам: $AO=BO$, $\angle CAO=\angle DBO$ и $\angle AOC=\angle BOD$).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. Сторона $AC$ в $\triangle AOC$ лежит напротив угла $\angle AOC$. Сторона $BD$ в $\triangle BOD$ лежит напротив угла $\angle BOD$. Поскольку $\angle AOC = \angle BOD$, то и соответствующие стороны $AC$ и $BD$ равны.

Итак, $AC = BD$.

По условию задачи дано, что $BD = 8$ см. Следовательно, искомое расстояние $AC$ также равно 8 см.

Ответ: 8 см.

2.13. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO = OC$ и $BO = DO$. Докажите, что $\angle ABD = \angle BDC$.

Для доказательства равенства углов рассмотрим треугольники, которые можно построить, соединив концы данных отрезков $AB$ и $CD$. В частности, рассмотрим треугольники $ΔAOC$ и $ΔBOD$.

1. Рассмотрим треугольник $ΔAOC$. По условию задачи, стороны $AO$ и $OC$ равны ($AO = OC$). Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $ΔAOC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle OAC = \angle OCA$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ΔBOD$. По условию, стороны $BO$ и $DO$ равны ($BO = DO$). Следовательно, $ΔBOD$ также является равнобедренным треугольником с основанием $BD$. Углы при его основании равны: $\angle OBD = \angle ODB$.

3. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ образованы пересечением отрезков $AB$ и $CD$. Эти углы являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle AOC = \angle BOD$.

4. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.

Для $ΔAOC$: $\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$. Так как $\angle OAC = \angle OCA$, мы можем записать: $2\angle OAC + \angle AOC = 180^\circ$, откуда $\angle OAC = \frac{180^\circ - \angle AOC}{2}$.

Для $ΔBOD$: $\angle OBD + \angle ODB + \angle BOD = 180^\circ$. Так как $\angle OBD = \angle ODB$, мы можем записать: $2\angle OBD + \angle BOD = 180^\circ$, откуда $\angle OBD = \frac{180^\circ - \angle BOD}{2}$.

5. Поскольку из пункта 3 мы знаем, что $\angle AOC = \angle BOD$, то правые части выражений для $\angle OAC$ и $\angle OBD$ равны. Следовательно, равны и сами углы: $\angle OAC = \angle OBD$. Так как в каждом равнобедренном треугольнике углы при основании равны, мы получаем, что все четыре угла при основаниях равны между собой: $\angle OAC = \angle OCA = \angle OBD = \angle ODB$.

6. Нам нужно доказать, что $\angle ABD = \angle BDC$.

Угол $\angle ABD$ — это угол с вершиной $B$ и сторонами $BA$ и $BD$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AB$, луч $BA$ совпадает с лучом $BO$. Следовательно, $\angle ABD$ — это тот же самый угол, что и $\angle OBD$.

Угол $\angle BDC$ — это угол с вершиной $D$ и сторонами $DB$ и $DC$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $CD$, луч $DC$ совпадает с лучом $DO$. Следовательно, $\angle BDC$ — это тот же самый угол, что и $\angle ODB$.

7. Из пункта 5 мы установили, что $\angle OBD = \angle ODB$. Заменяя эти углы на эквивалентные им $\angle ABD$ и $\angle BDC$, получаем требуемое равенство: $\angle ABD = \angle BDC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $\angle ABD = \angle BDC$ следует из того, что треугольники $ΔAOC$ и $ΔBOD$ являются равнобедренными с равными углами при вершине $O$, что ведет к равенству их углов при основаниях.

2.14. Отрезки равной длины $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO = OD$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DCB$.

Дано:

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$.

$AB = CD$

$AO = OD$

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle DCB$

Доказательство:

1. Точка $O$ лежит на отрезках $AB$ и $CD$, поэтому длины этих отрезков можно представить в виде суммы длин их частей: $AB = AO + OB$ и $CD = CO + OD$.

2. Согласно условию, $AB = CD$. Следовательно, мы можем записать равенство: $AO + OB = CO + OD$.

3. Также по условию нам известно, что $AO = OD$. Подставим это равенство в выражение из предыдущего шага: $OD + OB = CO + OD$. Вычтем из обеих частей равенства отрезок $OD$ и получим, что $OB = CO$.

4. Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle DOB$.

- $AO = OD$ (по условию).

- $CO = OB$ (доказано выше).

- $\angle AOC = \angle DOB$ (как вертикальные углы при пересечении отрезков $AB$ и $CD$).

Следовательно, $\triangle AOC = \triangle DOB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

5. Из равенства треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle DOB$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их стороны: $AC = DB$.

6. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$, равенство которых нам необходимо доказать.

- $AB = DC$ (по условию).

- $BC$ — общая сторона для обоих треугольников.

- $AC = DB$ (доказано в предыдущем пункте).

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle DCB$.

7. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DCB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle DCB$ доказано.

2.15. На рисунке 2.13 $AD = CF$, $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DEF$.

Рис. 2.13

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ воспользуемся вторым признаком равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам.

1. Сравним стороны $AC$ и $DF$.

Из рисунка видно, что сторона $AC$ состоит из суммы отрезков $AD$ и $DC$, то есть $AC = AD + DC$.

Сторона $DF$ состоит из суммы отрезков $DC$ и $CF$, то есть $DF = DC + CF$.

По условию задачи дано, что $AD = CF$. Если к обеим частям этого равенства прибавить длину общего для обеих сторон отрезка $DC$, то равенство не нарушится:

$AD + DC = CF + DC$

Заменяя суммы на соответствующие им отрезки, получаем:

$AC = DF$.

Таким образом, мы доказали, что сторона $AC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $DF$ треугольника $\triangle DEF$.

2. Сравним углы.

По условию задачи нам даны следующие равенства:

- $\angle 1 = \angle 2$. Угол $\angle 1$ — это угол $\angle BAC$ треугольника $\triangle ABC$, а угол $\angle 2$ — это угол $\angle EDF$ треугольника $\triangle DEF$. Следовательно, $\angle BAC = \angle EDF$.- $\angle 3 = \angle 4$. Угол $\angle 3$ — это угол $\angle BCA$ треугольника $\triangle ABC$, а угол $\angle 4$ — это угол $\angle EFD$ треугольника $\triangle DEF$. Следовательно, $\angle BCA = \angle EFD$.

3. Вывод.

Мы установили, что сторона $AC$ и два прилежащих к ней угла $\angle BAC$ и $\angle BCA$ треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны стороне $DF$ и двум прилежащим к ней углам $\angle EDF$ и $\angle EFD$ треугольника $\triangle DEF$.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABC = \triangle DEF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle DEF$ доказано, так как они равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам): сторона $AC$ равна стороне $DF$, а прилежащие к ним углы $\angle BAC = \angle EDF$ и $\angle BCA = \angle EFD$.

2.16. Отрезки равной длины $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO = OC$. Докажите, что $\angle ABC = \angle ADC$ и $\angle BAD = \angle BCD$.

Для доказательства обоих равенств сперва установим ключевое свойство заданных отрезков. Из условия известно, что отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Это значит, что длина каждого отрезка равна сумме длин его частей: $AB = AO + OB$ и $CD = CO + OD$.

По условию, $AB = CD$ и $AO = OC$. Подставив эти равенства в выражения для длин, получим:

$AO + OB = CO + OD$

$OC + OB = CO + OD$

Вычитая $OC$ из обеих частей, приходим к выводу, что $OB = OD$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

• Сторона $AO$ равна стороне $OC$ (по условию).
• Сторона $OD$ равна стороне $OB$ (как доказано выше).
• Угол $\angle AOD$ равен углу $\angle COB$ (как вертикальные углы).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOD \cong \triangle COB$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, что мы и используем для доказательства.

Докажите, что $\angle ABC = \angle ADC$

Так как $\triangle AOD \cong \triangle COB$, их соответственные углы равны. В частности, $\angle CBO = \angle ADO$. Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $AB$, угол $\angle CBO$ — это тот же угол, что и $\angle ABC$. Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на отрезке $CD$, угол $\angle ADO$ — это тот же угол, что и $\angle ADC$. Таким образом, из равенства $\angle CBO = \angle ADO$ следует, что $\angle ABC = \angle ADC$.

Ответ: Равенство $\angle ABC = \angle ADC$ доказано.

Докажите, что $\angle BAD = \angle BCD$

Из того же доказанного равенства треугольников $\triangle AOD \cong \triangle COB$ следует равенство и другой пары соответственных углов: $\angle BCO = \angle DAO$. Угол $\angle BCO$ — это тот же самый угол, что и $\angle BCD$, а угол $\angle DAO$ — это тот же самый угол, что и $\angle BAD$. Следовательно, $\angle BAD = \angle BCD$.

Ответ: Равенство $\angle BAD = \angle BCD$ доказано.