Номер 2.10, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.10. В треугольниках $ABC$ и $A_1B_1C_1$, $AB = A_1B_1$, $AC = A_1C_1$, $\angle A = \angle A_1$. На сторонах $AB$ и $A_1B_1$ отмечены точки $P$ и $P_1$ так, что $AP = A_1P_1$. Докажите, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$.

Для доказательства того, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$, мы будем использовать метод пошагового сравнения элементов этих треугольников, предварительно установив равенство исходных треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$.

1. Рассмотрим треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$. Из условия задачи нам известно, что:

• $AB = A_1B_1$
• $AC = A_1C_1$
• $\angle A = \angle A_1$

Эти три условия соответствуют первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, мы можем сделать вывод, что $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$.

2. Из равенства треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ следует равенство их соответствующих сторон и углов. Для нашего доказательства наиболее важны следующие равенства:

• $BC = B_1C_1$
• $\angle ABC = \angle A_1B_1C_1$ (или для краткости $\angle B = \angle B_1$)

3. Теперь найдем длины отрезков $BP$ и $B_1P_1$. Точка $P$ находится на стороне $AB$, поэтому длина стороны $AB$ является суммой длин отрезков $AP$ и $PB$. Это можно записать как $AB = AP + PB$. Выразим отсюда $PB$:

$PB = AB - AP$

Аналогично, точка $P_1$ находится на стороне $A_1B_1$, поэтому $A_1B_1 = A_1P_1 + P_1B_1$. Выразим $P_1B_1$:

$P_1B_1 = A_1B_1 - A_1P_1$

По условию задачи мы знаем, что $AB = A_1B_1$ и $AP = A_1P_1$. Подставив эти равенства в полученные выражения, мы можем заключить, что:

$PB = AB - AP = A_1B_1 - A_1P_1 = P_1B_1$

Таким образом, мы доказали, что $BP = B_1P_1$.

4. Наконец, докажем равенство треугольников $BPC$ и $B_1P_1C_1$. Сравним их, используя первый признак равенства треугольников:

• Сторона $BP$ в $\triangle BPC$ равна стороне $B_1P_1$ в $\triangle B_1P_1C_1$ (как доказано в шаге 3).
• Угол $\angle PBC$ (то есть $\angle B$) в $\triangle BPC$ равен углу $\angle P_1B_1C_1$ (то есть $\angle B_1$) в $\triangle B_1P_1C_1$ (как следует из шага 2).
• Сторона $BC$ в $\triangle BPC$ равна стороне $B_1C_1$ в $\triangle B_1P_1C_1$ (как следует из шага 2).

Поскольку две стороны и угол между ними треугольника $BPC$ соответственно равны двум сторонам и углу между ними треугольника $B_1P_1C_1$, мы заключаем, что $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle BPC = \triangle B_1P_1C_1$ доказано.