Номер 2.9, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.9. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Дано:

Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются. Обозначим точку их пересечения буквой $O$. По условию задачи, отрезки в точке пересечения делятся пополам, это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$.

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle CDA$

Доказательство:

Для доказательства равенства треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ воспользуемся одним из признаков равенства треугольников. Мы докажем их равенство по третьему признаку (по трем сторонам). Для этого нам нужно последовательно доказать равенство всех трех пар соответственных сторон.

1. Сначала докажем, что сторона $AB$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $CD$ треугольника $\triangle CDA$. Для этого рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$, образованные при пересечении отрезков.

• $AO = OC$ (по условию задачи).
• $BO = OD$ (по условию задачи).
• $\angle AOB = \angle COD$ (так как эти углы являются вертикальными).

Следовательно, $\triangle AOB = \triangle COD$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон, то есть $AB = CD$.

2. Теперь докажем, что сторона $BC$ треугольника $\triangle ABC$ равна стороне $DA$ треугольника $\triangle CDA$. Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

• $BO = OD$ (по условию задачи).
• $OC = AO$ (по условию задачи).
• $\angle BOC = \angle DOA$ (так как эти углы являются вертикальными).

Следовательно, $\triangle BOC = \triangle DOA$ по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что их соответственные стороны равны, то есть $BC = DA$.

3. Наконец, рассмотрим третью пару сторон. Сторона $AC$ является общей для обоих треугольников, $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$.

Таким образом, мы установили, что все три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого:

• $AB = CD$
• $BC = DA$
• $AC$ — общая сторона

Значит, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle ABC = \triangle CDA$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle CDA$ доказано.