Номер 2.6, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.6. На рисунке 2.10 $ \angle MNK=\angle PKN $, $ \angle PNK = \angle MKN $, $ \angle NMK = 137^\circ $. Найдите $ \angle 1 $.

Рис. 2.10

Рассмотрим треугольники $\triangle MNK$ и $\triangle PKN$.

В этих треугольниках сторона $NK$ является общей. По условию задачи даны равенства углов, прилежащих к этой стороне: $\angle MNK = \angle PKN$ и $\angle MKN = \angle PNK$.

Согласно второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Следовательно, $\triangle MNK = \triangle PKN$.

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. Углы $\angle NMK$ и $\angle KPN$ лежат против общей стороны $NK$ в треугольниках $\triangle MNK$ и $\triangle PKN$ соответственно, значит, они равны.

$\angle KPN = \angle NMK$

По условию задачи $\angle NMK = 137^\circ$, следовательно, $\angle KPN = 137^\circ$.

Угол $\angle 1$ и угол $\angle KPN$ являются смежными, так как они имеют общую сторону $NP$, а две другие стороны являются продолжениями друг друга и образуют прямую линию. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle 1 + \angle KPN = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle KPN$:

$\angle 1 + 137^\circ = 180^\circ$

Отсюда находим $\angle 1$:

$\angle 1 = 180^\circ - 137^\circ = 43^\circ$

Ответ: $43^\circ$.