Номер 2.12, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.12. Через концы отрезка $AB$ проведены параллельные прямые $AC$ и $BD$ так, что $\angle ABD = \angle BAC$, и через середину $O$ отрезка $AB$ проведена прямая, пересекающая эти прямые в точках $C$ и $D$. Найдите расстояние $AC$, если $BD = 8$ см.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle BOD$.

1. По условию задачи, точка $O$ является серединой отрезка $AB$, следовательно, стороны треугольников $AO$ и $OB$ равны: $AO = OB$.

2. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ равны, так как они являются вертикальными углами, образованными при пересечении прямых $AB$ и $CD$.

3. По условию прямые $AC$ и $BD$ параллельны ($AC \parallel BD$). Прямая $AB$ является для них секущей. Следовательно, накрест лежащие углы $\angle CAO$ (он же $\angle BAC$) и $\angle DBO$ (он же $\angle ABD$) равны. Условие $\angle ABD = \angle BAC$ подтверждает этот факт.

Таким образом, треугольник $\triangle AOC$ равен треугольнику $\triangle BOD$ по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум углам: $AO=BO$, $\angle CAO=\angle DBO$ и $\angle AOC=\angle BOD$).

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие стороны равны. Сторона $AC$ в $\triangle AOC$ лежит напротив угла $\angle AOC$. Сторона $BD$ в $\triangle BOD$ лежит напротив угла $\angle BOD$. Поскольку $\angle AOC = \angle BOD$, то и соответствующие стороны $AC$ и $BD$ равны.

Итак, $AC = BD$.

По условию задачи дано, что $BD = 8$ см. Следовательно, искомое расстояние $AC$ также равно 8 см.

Ответ: 8 см.