Номер 2.14, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.14. Отрезки равной длины $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO = OD$. Докажите, что $\triangle ABC = \triangle DCB$.

Дано:

Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$.

$AB = CD$

$AO = OD$

Доказать:

$\triangle ABC = \triangle DCB$

Доказательство:

1. Точка $O$ лежит на отрезках $AB$ и $CD$, поэтому длины этих отрезков можно представить в виде суммы длин их частей: $AB = AO + OB$ и $CD = CO + OD$.

2. Согласно условию, $AB = CD$. Следовательно, мы можем записать равенство: $AO + OB = CO + OD$.

3. Также по условию нам известно, что $AO = OD$. Подставим это равенство в выражение из предыдущего шага: $OD + OB = CO + OD$. Вычтем из обеих частей равенства отрезок $OD$ и получим, что $OB = CO$.

4. Рассмотрим треугольники $\triangle AOC$ и $\triangle DOB$.

- $AO = OD$ (по условию).

- $CO = OB$ (доказано выше).

- $\angle AOC = \angle DOB$ (как вертикальные углы при пересечении отрезков $AB$ и $CD$).

Следовательно, $\triangle AOC = \triangle DOB$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

5. Из равенства треугольников $\triangle AOC$ и $\triangle DOB$ следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их стороны: $AC = DB$.

6. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCB$, равенство которых нам необходимо доказать.

- $AB = DC$ (по условию).

- $BC$ — общая сторона для обоих треугольников.

- $AC = DB$ (доказано в предыдущем пункте).

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle DCB$.

7. Следовательно, $\triangle ABC = \triangle DCB$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC = \triangle DCB$ доказано.