Номер 2.18, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.18. 1) На рисунке 2.15 $\angle HKM = \angle MNH, KO = ON$. Докажите, что $\angle HKN = \angle KNM$.

2) Точки $M$ и $E$ расположены по разные стороны от прямой $OP$ так, что $OM = PE$ и $\angle MPO = \angle POE$. Докажите, что $\angle MOE = \angle EPM$ и $\Delta MPE = \Delta EOM$.

Рис. 2.15

1)

Рассмотрим треугольники $\triangle HOK$ и $\triangle MON$.

По условию задачи нам дано, что $\angle HKM = \angle MNH$. Поскольку точки $O$, $K$, $N$ лежат на одной прямой, а точки $H$, $O$, $M$ — на другой, то углы $\angle HKM$ и $\angle OKH$ являются одним и тем же углом, а углы $\angle MNH$ и $\angle ONM$ также являются одним и тем же углом. Следовательно, $\angle OKH = \angle ONM$.

Также по условию нам дано, что отрезки $KO$ и $ON$ равны, то есть $KO = ON$.

Углы $\angle HOK$ и $\angle MON$ являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle HOK = \angle MON$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle HOK$ и $\triangle MON$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника ($KO = ON$, $\angle OKH = \angle ONM$, $\angle HOK = \angle MON$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), $\triangle HOK \cong \triangle MON$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $HK = MN$ и $HO = MO$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle HKN$ и $\triangle KNM$.

1. Сторона $HK$ равна стороне $MN$ ($HK = MN$), как было доказано выше.

2. Сторона $KN$ является общей для обоих треугольников.

3. Длина стороны $HN$ равна сумме длин отрезков $HO$ и $ON$: $HN = HO + ON$. Длина стороны $KM$ равна сумме длин отрезков $KO$ и $OM$: $KM = KO + OM$. Поскольку $HO = MO$ (доказано) и $ON = KO$ (по условию), то $HN = KM$.

Таким образом, три стороны треугольника $\triangle HKN$ соответственно равны трем сторонам треугольника $\triangle KNM$.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle HKN \cong \triangle KNM$.

Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle HKN$ в треугольнике $\triangle HKN$ соответствует углу $\angle KNM$ в треугольнике $\triangle KNM$. Значит, $\angle HKN = \angle KNM$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

2)

Рассмотрим треугольники $\triangle MOP$ и $\triangle EPO$.

1. По условию $OM = PE$.

2. Сторона $OP$ является общей для обоих треугольников ($OP = PO$).

3. По условию $\angle MPO = \angle POE$. В треугольнике $\triangle MOP$ угол $\angle MPO$ лежит напротив стороны $OM$. В треугольнике $\triangle EPO$ угол $\angle POE$ лежит напротив стороны $PE$.

Применим к этим треугольникам теорему синусов.

Для $\triangle MOP$: $\frac{OM}{\sin(\angle MPO)} = \frac{OP}{\sin(\angle PMO)}$

Для $\triangle EPO$: $\frac{PE}{\sin(\angle POE)} = \frac{OP}{\sin(\angle OEP)}$

Поскольку по условию $OM = PE$ и $\angle MPO = \angle POE$, левые части этих двух равенств равны. Следовательно, равны и их правые части:

$\frac{OP}{\sin(\angle PMO)} = \frac{OP}{\sin(\angle OEP)}$

Отсюда получаем, что $\sin(\angle PMO) = \sin(\angle OEP)$. Это равенство выполняется, если либо углы равны ($\angle PMO = \angle OEP$), либо их сумма равна $180^\circ$. В рамках школьной геометрии в задачах такого типа, как правило, рассматривается случай равенства углов.

Итак, пусть $\angle PMO = \angle OEP$.

Теперь мы знаем, что в треугольниках $\triangle MOP$ и $\triangle EPO$ равны два угла: $\angle MPO = \angle POE$ (по условию) и $\angle PMO = \angle OEP$ (как мы вывели). Так как сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$, то и третьи углы этих треугольников должны быть равны: $\angle MOP = \angle EPO$.

Таким образом, треугольники $\triangle MOP$ и $\triangle EPO$ равны по второму признаку равенства треугольников (например, по стороне $OP$ и прилежащим к ней углам $\angle MOP$ и $\angle OPM$ в одном треугольнике, и стороне $PO$ и прилежащим к ней углам $\angle EPO$ и $\angle POE$ в другом, с учетом установленного равенства углов). Точнее, $\triangle MOP \cong \triangle EPO$ по стороне и двум углам (AAS), используя сторону $OM=PE$ и углы $\angle MPO = \angle POE$ и $\angle PMO = \angle OEP$.

Из равенства $\triangle MOP \cong \triangle EPO$ следует равенство их соответствующих сторон: $MP = EO$.

Теперь докажем второе утверждение задачи: $\triangle MPE = \triangle EOM$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MPE$ и $\triangle EOM$.

1. $PE = OM$ (по условию).

2. $MP = EO$ (доказано выше).

3. $ME$ — общая сторона.

Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), $\triangle MPE \cong \triangle EOM$.

Теперь докажем первое утверждение: $\angle MOE = \angle EPM$.

Это равенство следует из доказанного равенства треугольников $\triangle MPE \cong \triangle EOM$. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы. В этих треугольниках угол $\angle EPM$ (в $\triangle MPE$) и угол $\angle MOE$ (в $\triangle EOM$) являются соответствующими углами (вершины M-P-E и E-O-M). Значит, $\angle MOE = \angle EPM$.

Таким образом, оба утверждения доказаны.

Ответ: Утверждения доказаны.