Номер 2.16, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.16. Отрезки равной длины $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO = OC$. Докажите, что $\angle ABC = \angle ADC$ и $\angle BAD = \angle BCD$.

Для доказательства обоих равенств сперва установим ключевое свойство заданных отрезков. Из условия известно, что отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$. Это значит, что длина каждого отрезка равна сумме длин его частей: $AB = AO + OB$ и $CD = CO + OD$.

По условию, $AB = CD$ и $AO = OC$. Подставив эти равенства в выражения для длин, получим:

$AO + OB = CO + OD$

$OC + OB = CO + OD$

Вычитая $OC$ из обеих частей, приходим к выводу, что $OB = OD$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AOD$ и $\triangle COB$.

• Сторона $AO$ равна стороне $OC$ (по условию).
• Сторона $OD$ равна стороне $OB$ (как доказано выше).
• Угол $\angle AOD$ равен углу $\angle COB$ (как вертикальные углы).

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AOD \cong \triangle COB$. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, что мы и используем для доказательства.

Докажите, что $\angle ABC = \angle ADC$

Так как $\triangle AOD \cong \triangle COB$, их соответственные углы равны. В частности, $\angle CBO = \angle ADO$. Поскольку точка $O$ лежит на отрезке $AB$, угол $\angle CBO$ — это тот же угол, что и $\angle ABC$. Аналогично, поскольку точка $O$ лежит на отрезке $CD$, угол $\angle ADO$ — это тот же угол, что и $\angle ADC$. Таким образом, из равенства $\angle CBO = \angle ADO$ следует, что $\angle ABC = \angle ADC$.

Ответ: Равенство $\angle ABC = \angle ADC$ доказано.

Докажите, что $\angle BAD = \angle BCD$

Из того же доказанного равенства треугольников $\triangle AOD \cong \triangle COB$ следует равенство и другой пары соответственных углов: $\angle BCO = \angle DAO$. Угол $\angle BCO$ — это тот же самый угол, что и $\angle BCD$, а угол $\angle DAO$ — это тот же самый угол, что и $\angle BAD$. Следовательно, $\angle BAD = \angle BCD$.

Ответ: Равенство $\angle BAD = \angle BCD$ доказано.