Номер 2.13, страница 34 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.13. Отрезки $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $O$ так, что $AO = OC$ и $BO = DO$. Докажите, что $\angle ABD = \angle BDC$.

Для доказательства равенства углов рассмотрим треугольники, которые можно построить, соединив концы данных отрезков $AB$ и $CD$. В частности, рассмотрим треугольники $ΔAOC$ и $ΔBOD$.

1. Рассмотрим треугольник $ΔAOC$. По условию задачи, стороны $AO$ и $OC$ равны ($AO = OC$). Треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным. Следовательно, $ΔAOC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AC$. По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle OAC = \angle OCA$.

2. Аналогично рассмотрим треугольник $ΔBOD$. По условию, стороны $BO$ и $DO$ равны ($BO = DO$). Следовательно, $ΔBOD$ также является равнобедренным треугольником с основанием $BD$. Углы при его основании равны: $\angle OBD = \angle ODB$.

3. Углы $\angle AOC$ и $\angle BOD$ образованы пересечением отрезков $AB$ и $CD$. Эти углы являются вертикальными, а значит, они равны: $\angle AOC = \angle BOD$.

4. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$.

Для $ΔAOC$: $\angle OAC + \angle OCA + \angle AOC = 180^\circ$. Так как $\angle OAC = \angle OCA$, мы можем записать: $2\angle OAC + \angle AOC = 180^\circ$, откуда $\angle OAC = \frac{180^\circ - \angle AOC}{2}$.

Для $ΔBOD$: $\angle OBD + \angle ODB + \angle BOD = 180^\circ$. Так как $\angle OBD = \angle ODB$, мы можем записать: $2\angle OBD + \angle BOD = 180^\circ$, откуда $\angle OBD = \frac{180^\circ - \angle BOD}{2}$.

5. Поскольку из пункта 3 мы знаем, что $\angle AOC = \angle BOD$, то правые части выражений для $\angle OAC$ и $\angle OBD$ равны. Следовательно, равны и сами углы: $\angle OAC = \angle OBD$. Так как в каждом равнобедренном треугольнике углы при основании равны, мы получаем, что все четыре угла при основаниях равны между собой: $\angle OAC = \angle OCA = \angle OBD = \angle ODB$.

6. Нам нужно доказать, что $\angle ABD = \angle BDC$.

Угол $\angle ABD$ — это угол с вершиной $B$ и сторонами $BA$ и $BD$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AB$, луч $BA$ совпадает с лучом $BO$. Следовательно, $\angle ABD$ — это тот же самый угол, что и $\angle OBD$.

Угол $\angle BDC$ — это угол с вершиной $D$ и сторонами $DB$ и $DC$. Так как точка $O$ лежит на отрезке $CD$, луч $DC$ совпадает с лучом $DO$. Следовательно, $\angle BDC$ — это тот же самый угол, что и $\angle ODB$.

7. Из пункта 5 мы установили, что $\angle OBD = \angle ODB$. Заменяя эти углы на эквивалентные им $\angle ABD$ и $\angle BDC$, получаем требуемое равенство: $\angle ABD = \angle BDC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Равенство $\angle ABD = \angle BDC$ следует из того, что треугольники $ΔAOC$ и $ΔBOD$ являются равнобедренными с равными углами при вершине $O$, что ведет к равенству их углов при основаниях.