Номер 2.19, страница 35 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.19. Как измерить на местности расстояние между пунктами А и В, между которыми нельзя пройти по прямой (рис. 2.16)? Примените I и II признаки равенства треугольников.

Рис. 2.16

Для измерения расстояния $AB$ между двумя точками, разделенными препятствием, можно использовать методы, основанные на признаках равенства треугольников. Для этого необходимо выбрать третью точку $C$, из которой видны и доступны точки $A$ и $B$.

Применение I признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними)

Первый признак равенства треугольников гласит: если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Порядок действий на местности:

1. Выбрать на местности доступную точку $O$, из которой видны точки $A$ и $B$.
2. С помощью рулетки или другого измерительного инструмента измерить расстояния $AO$ и $BO$.
3. Продолжить отрезок $AO$ за точку $O$ и отложить на этой прямой отрезок $OC$, равный отрезку $AO$ ($OC = AO$).
4. Продолжить отрезок $BO$ за точку $O$ и отложить на этой прямой отрезок $OD$, равный отрезку $BO$ ($OD = BO$).
5. Соединить точки $C$ и $D$. Расстояние $CD$ и будет искомым расстоянием $AB$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники $\triangle AOB$ и $\triangle COD$.

• $AO = CO$ по построению.
• $BO = DO$ по построению.
• Угол $\angle AOB$ равен углу $\angle COD$ как вертикальные углы.

Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle AOB \cong \triangle COD$. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон, то есть $AB = CD$. Измерив длину отрезка $CD$, мы найдем расстояние $AB$.

Ответ: Нужно выбрать точку $O$, измерить $AO$ и $BO$, продлить эти отрезки за точку $O$ на такие же длины до точек $C$ и $D$ соответственно. Расстояние $CD$ будет равно искомому расстоянию $AB$.

Применение II признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Второй признак равенства треугольников гласит: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Порядок действий на местности:

1. Выбрать на местности доступную точку $C$, из которой видны точки $A$ и $B$.
2. Измерить длину отрезка $AC$ (или $BC$). Для определенности будем считать, что мы измерили $AC$.
3. С помощью угломерного инструмента (например, астролябии или теодолита) измерить углы, прилежащие к этой стороне: $\angle CAB$ (находясь в точке $A$) и $\angle ACB$ (находясь в точке $C$).
4. На доступном ровном участке местности построить отрезок $A'C'$, равный по длине измеренному отрезку $AC$.
5. От луча $A'C'$ отложить угол $\angle C'A'B'$, равный измеренному углу $\angle CAB$.
6. От луча $C'A'$ отложить угол $\angle A'C'B'$, равный измеренному углу $\angle ACB$.
7. Лучи, построенные в пунктах 5 и 6, пересекутся в некоторой точке $B'$.

Доказательство:

Рассмотрим исходный треугольник $\triangle ABC$ и построенный треугольник $\triangle A'B'C'$.

• $AC = A'C'$ по построению.
• $\angle CAB = \angle C'A'B'$ по построению.
• $\angle ACB = \angle A'C'B'$ по построению.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$. Из равенства треугольников следует равенство их соответственных сторон, то есть $AB = A'B'$. Измерив длину отрезка $A'B'$ на доступной местности, мы найдем искомое расстояние $AB$.

Ответ: Нужно выбрать точку $C$, измерить сторону $AC$ и прилежащие к ней углы $\angle CAB$ и $\angle ACB$. Затем на ровной местности построить треугольник $A'B'C'$ по этим данным ($A'C' = AC$, $\angle C'A'B'=\angle CAB$, $\angle A'C'B'=\angle ACB$). Длина стороны $A'B'$ построенного треугольника будет равна искомому расстоянию $AB$.