Номер 2.1, страница 33 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.1. Отрезки AE и DC пересекаются в точке B, являющейся серединой каждого из них.

1) Докажите, что $\triangle ABC = \triangle BED$.

2) Найдите $\angle A$ и $\angle C$ треугольника ABC, если в треугольнике BDE $\angle D = 47^{\circ}$, $\angle E = 42^{\circ}$.

1) Докажите, что ΔABC = ΔBED.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle EBD$.

По условию задачи, отрезки AE и DC пересекаются в точке B, которая является серединой каждого из них. Из этого следует:

1. $AB = BE$, так как B — середина отрезка AE.

2. $BC = BD$, так как B — середина отрезка DC.

Углы $\angle ABC$ и $\angle EBD$ являются вертикальными, поскольку они образованы при пересечении прямых AE и DC. Согласно свойству вертикальных углов, они равны: $\angle ABC = \angle EBD$.

Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle EBD$ две стороны и угол между ними соответственно равны ($AB = BE$, $BC = BD$, $\angle ABC = \angle EBD$).

По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ABC = \triangle EBD$.

Поскольку треугольник $\triangle EBD$ и треугольник $\triangle BED$ (указанный в условии) обозначают одну и ту же фигуру, то равенство $\triangle ABC = \triangle BED$ доказано.

Ответ: Равенство треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle BED$ доказано.

2) Найдите ∠A и ∠C треугольника ABC, если в треугольнике BDE ∠D = 47°, ∠E = 42°.

Из доказанного в пункте 1 равенства треугольников ($\triangle ABC = \triangle EBD$) следует, что их соответствующие элементы равны. В частности, равны их углы при соответствующих вершинах. Соответствие вершин следующее: A ↔ E, C ↔ D.

Следовательно, $\angle A$ треугольника $\triangle ABC$ равен $\angle E$ треугольника $\triangle EBD$, а $\angle C$ треугольника $\triangle ABC$ равен $\angle D$ треугольника $\triangle EBD$.

$\angle A = \angle E$

$\angle C = \angle D$

По условию задачи, в треугольнике BDE даны значения углов: $\angle D = 47^\circ$ и $\angle E = 42^\circ$.

Подставляя эти значения, находим искомые углы треугольника ABC:

$\angle A = 42^\circ$

$\angle C = 47^\circ$

Ответ: $\angle A = 42^\circ, \angle C = 47^\circ$.