Номер 1.90, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.90. Докажите, что если биссектрисы углов $ABC$ и $CBD$ перпендикулярны, то точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Пусть даны два угла, $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $, которые имеют общую вершину $ B $ и общую сторону $ BC $. Пусть луч $ BE $ является биссектрисой угла $ \angle ABC $, а луч $ BF $ — биссектрисой угла $ \angle CBD $.

По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части. Таким образом, мы имеем следующие равенства: $ \angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC $ и $ \angle CBF = \frac{1}{2} \angle CBD $.

Угол между биссектрисами $ BE $ и $ BF $ — это угол $ \angle EBF $. Поскольку углы $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $ имеют общую сторону $ BC $, луч $ BC $ лежит между лучами $ BE $ и $ BF $. Следовательно, величина угла $ \angle EBF $ равна сумме величин углов $ \angle EBC $ и $ \angle CBF $: $ \angle EBF = \angle EBC + \angle CBF $.

По условию задачи, биссектрисы $ BE $ и $ BF $ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $ 90^\circ $, то есть $ \angle EBF = 90^\circ $.

Подставим в это равенство выражения для углов $ \angle EBC $ и $ \angle CBF $, полученные из определения биссектрисы: $ \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle CBD = 90^\circ $.

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки: $ \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle CBD) = 90^\circ $.

Чтобы найти сумму углов $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $, умножим обе части равенства на 2: $ \angle ABC + \angle CBD = 180^\circ $.

Сумма углов $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $ образует угол $ \angle ABD $. Таким образом, $ \angle ABD = 180^\circ $.

Угол, равный $ 180^\circ $, является развернутым. Стороны развернутого угла (в данном случае, лучи $ BA $ и $ BD $) лежат на одной прямой. Следовательно, точки $ A, B $ и $ D $ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.