Номер 1.85, страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.85. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть две прямые AB и CD пересекаются в точке O. При этом образуются две пары вертикальных углов: $\angle AOC$ и $\angle BOD$, а также $\angle AOD$ и $\angle BOC$. Докажем утверждение для одной пары, например, для $\angle AOC$ и $\angle BOD$.

Проведем луч OK — биссектрису угла $\angle AOC$, и луч OM — биссектрису угла $\angle BOD$. Нам необходимо доказать, что лучи OK и OM являются продолжениями друг друга, то есть лежат на одной прямой. Для этого достаточно показать, что угол $\angle KOM$ является развернутым, то есть его градусная мера равна $180^\circ$.

По определению биссектрисы угла:

$\angle KOC = \frac{1}{2}\angle AOC$

$\angle BOM = \frac{1}{2}\angle BOD$

По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOC = \angle BOD$. Следовательно, равны и их половины: $\angle KOC = \angle BOM$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными, так как их стороны OA и OB образуют прямую AB. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:

$\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$

Рассмотрим угол $\angle KOM$. Он состоит из суммы трех углов, расположенных последовательно: $\angle KOC$, $\angle COB$ и $\angle BOM$.

$\angle KOM = \angle KOC + \angle COB + \angle BOM$

В этой сумме заменим $\angle BOM$ на равный ему угол $\angle KOC$:

$\angle KOM = \angle KOC + \angle COB + \angle KOC = (2 \cdot \angle KOC) + \angle COB$

Так как OK — биссектриса угла $\angle AOC$, то $\angle AOC = 2 \cdot \angle KOC$. Подставим это выражение в формулу для смежных углов:

$(2 \cdot \angle KOC) + \angle COB = 180^\circ$

Сравнивая два последних полученных равенства, видим, что:

$\angle KOM = 180^\circ$

Поскольку угол $\angle KOM$ является развернутым, его стороны — лучи OK и OM — лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма половины первого вертикального угла, смежного с ним угла и половины второго вертикального угла составляет развернутый угол ($180^\circ$). Это означает, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.