Страница 30 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.77. Найдите углы, которые получаются при пересечении двух прямых, если сумма трех из этих углов равна $270^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Обозначим их последовательно $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. Сумма всех четырех углов, образованных при пересечении, всегда равна $360^\circ$.

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ$

По условию задачи, сумма трех из этих углов равна $270^\circ$. Неважно, какие именно три угла мы выберем, результат будет одинаков. Допустим, это $\angle 1$, $\angle 2$ и $\angle 3$:

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 270^\circ$

Теперь мы можем найти величину четвертого угла ($\angle 4$), вычитая сумму трех углов из общей суммы в $360^\circ$:

$\angle 4 = (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4) - (\angle 1 + \angle 2 + \angle 3)$

$\angle 4 = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$

Итак, один из углов равен $90^\circ$. Теперь найдем остальные углы, используя свойства углов, образованных при пересечении прямых:

1. Вертикальные углы равны. Угол, вертикальный к $\angle 4$, это $\angle 2$. Следовательно, $\angle 2 = \angle 4 = 90^\circ$.

2. Смежные углы в сумме дают $180^\circ$. Угол $\angle 1$ является смежным для $\angle 4$ (и для $\angle 2$). Найдем $\angle 1$:

$\angle 1 + \angle 4 = 180^\circ$

$\angle 1 + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle 1 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$

3. Угол $\angle 3$ является вертикальным для $\angle 1$. Следовательно, $\angle 3 = \angle 1 = 90^\circ$.

Таким образом, все четыре угла, образованные при пересечении двух прямых, равны $90^\circ$. Это означает, что данные прямые перпендикулярны.

Проверка: сумма любых трех углов будет $90^\circ + 90^\circ + 90^\circ = 270^\circ$, что соответствует условию задачи.

Ответ: 90°, 90°, 90°, 90°.

1.78. Докажите, что если три из четырех углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равны между собой, то прямые перпендикулярны.

Пусть даны две пересекающиеся прямые, которые образуют четыре угла. Обозначим эти углы как $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$, где $\angle 1$ и $\angle 3$ — одна пара вертикальных углов, а $\angle 2$ и $\angle 4$ — другая. Смежными являются пары углов ($\angle 1$, $\angle 2$), ($\angle 2$, $\angle 3$), ($\angle 3$, $\angle 4$) и ($\angle 4$, $\angle 1$).

Известно, что:

• Вертикальные углы равны: $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 2 = \angle 4$.
• Сумма смежных углов равна $180°$. Например, $\angle 1 + \angle 2 = 180°$.

По условию задачи, три из четырех углов равны между собой. Возьмем любую тройку углов, например, $\angle 1, \angle 2, \angle 3$. Пусть они равны: $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$.

Так как углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются смежными, их сумма должна быть равна $180°$:

$\angle 1 + \angle 2 = 180°$

По нашему предположению, $\angle 1 = \angle 2$. Подставим это в уравнение:

$\angle 1 + \angle 1 = 180°$

$2 \cdot \angle 1 = 180°$

Разделив обе части на 2, получим:

$\angle 1 = 90°$

Поскольку $\angle 1 = \angle 2 = \angle 3$, то $\angle 2 = 90°$ и $\angle 3 = 90°$.

Четвертый угол, $\angle 4$, является вертикальным углу $\angle 2$. Значит, $\angle 4 = \angle 2 = 90°$.

Таким образом, все четыре угла, образовавшиеся при пересечении прямых, равны $90°$.

Прямые, пересекающиеся под прямым углом ($90°$), по определению являются перпендикулярными.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если три из четырех углов, образованных при пересечении двух прямых, равны, то среди этой тройки обязательно найдутся два смежных угла. Поскольку смежные углы в сумме дают $180°$ и при этом они равны, то каждый из них равен $180° / 2 = 90°$. Это означает, что все четыре угла равны $90°$, а следовательно, прямые перпендикулярны.

1.79. Найдите смежные углы, если их градусные меры относятся как:

1) 2:3;

2) 3:7;

3) 11:25;

4) 22:23.

Смежные углы — это два угла с общей вершиной и одной общей стороной, две другие стороны которых лежат на одной прямой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$.

Для решения задачи обозначим коэффициент пропорциональности через $x$. Тогда углы можно будет выразить через этот коэффициент, а их сумма будет равна $180^\circ$.

1) Градусные меры углов относятся как $2:3$.

Пусть один угол равен $2x$, а второй — $3x$.

Составим уравнение, исходя из свойства смежных углов:

$2x + 3x = 180^\circ$

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5} = 36^\circ$

Теперь найдем величины углов:

Первый угол: $2 \cdot 36^\circ = 72^\circ$.

Второй угол: $3 \cdot 36^\circ = 108^\circ$.

Ответ: $72^\circ$ и $108^\circ$.

2) Градусные меры углов относятся как $3:7$.

Пусть один угол равен $3x$, а второй — $7x$.

Составим уравнение:

$3x + 7x = 180^\circ$

$10x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{10} = 18^\circ$

Найдем величины углов:

Первый угол: $3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$.

Второй угол: $7 \cdot 18^\circ = 126^\circ$.

Ответ: $54^\circ$ и $126^\circ$.

3) Градусные меры углов относятся как $11:25$.

Пусть один угол равен $11x$, а второй — $25x$.

Составим уравнение:

$11x + 25x = 180^\circ$

$36x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{36} = 5^\circ$

Найдем величины углов:

Первый угол: $11 \cdot 5^\circ = 55^\circ$.

Второй угол: $25 \cdot 5^\circ = 125^\circ$.

Ответ: $55^\circ$ и $125^\circ$.

4) Градусные меры углов относятся как $22:23$.

Пусть один угол равен $22x$, а второй — $23x$.

Составим уравнение:

$22x + 23x = 180^\circ$

$45x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{45} = 4^\circ$

Найдем величины углов:

Первый угол: $22 \cdot 4^\circ = 88^\circ$.

Второй угол: $23 \cdot 4^\circ = 92^\circ$.

Ответ: $88^\circ$ и $92^\circ$.

1.80. Чему равен угол, если два смежных с ним угла составляют в сумме $100^\circ$?

Пусть искомый угол равен $\alpha$. Когда две прямые пересекаются, образуются четыре угла. Угол $\alpha$ имеет два смежных с ним угла. Эти два угла являются вертикальными по отношению друг к другу. Обозначим их как $\beta_1$ и $\beta_2$.

По свойству вертикальных углов, они всегда равны между собой:

$\beta_1 = \beta_2$

Согласно условию задачи, сумма этих двух углов равна $100°$:

$\beta_1 + \beta_2 = 100°$

Так как $\beta_1 = \beta_2$, мы можем заменить $\beta_2$ на $\beta_1$ в этом уравнении:

$\beta_1 + \beta_1 = 100°$

$2 \cdot \beta_1 = 100°$

Отсюда мы можем найти величину каждого из этих углов:

$\beta_1 = \frac{100°}{2} = 50°$

Следовательно, $\beta_1 = \beta_2 = 50°$.

Искомый угол $\alpha$ и угол $\beta_1$ являются смежными. Сумма смежных углов составляет $180°$.

$\alpha + \beta_1 = 180°$

Теперь подставим найденное значение $\beta_1$ и найдем $\alpha$:

$\alpha + 50° = 180°$

$\alpha = 180° - 50°$

$\alpha = 130°$

Ответ: $130°$.

1.81. Сумма двух углов, которые получаются при пересечении двух прямых, равна $50^\circ$. Найдите эти углы.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Они попарно являются либо смежными (их сумма равна $180^{\circ}$), либо вертикальными (они равны друг другу).

По условию задачи, сумма двух из этих углов равна $50^{\circ}$. Эти углы не могут быть смежными, так как их сумма $50^{\circ} \neq 180^{\circ}$. Следовательно, это пара вертикальных углов.

Поскольку вертикальные углы равны, то для нахождения величины каждого из них нужно разделить их сумму на 2. Пусть $\alpha$ — величина каждого из этих углов:

$\alpha = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}$

Таким образом, два угла, о которых идет речь в задаче, равны по $25^{\circ}$.

Найдем также два других угла, образованных при пересечении. Они тоже являются вертикальными и равны между собой. Обозначим их величину как $\beta$. Угол $\beta$ является смежным с углом $\alpha$, поэтому их сумма равна $180^{\circ}$:

$\beta = 180^{\circ} - \alpha = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ}$

Итак, при пересечении данных прямых образовались четыре угла: два по $25^{\circ}$ и два по $155^{\circ}$. Вопрос задачи относится к углам, сумма которых равна $50^{\circ}$.

Ответ: $25^{\circ}$ и $25^{\circ}$.

1.82. Один из углов, образованный при пересечении двух прямых, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Они состоят из двух пар равных между собой вертикальных углов. Любые два соседних угла являются смежными, и их сумма равна $180^\circ$.

По условию задачи, один из образовавшихся углов в 4 раза больше другого. Эти два угла не могут быть вертикальными, поскольку вертикальные углы равны. Следовательно, речь идет о смежных углах.

Обозначим меньший из этих углов как $x$. Тогда больший угол будет равен $4x$.

Так как сумма смежных углов равна $180^\circ$, мы можем составить следующее уравнение:

$x + 4x = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$5x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{5}$

$x = 36^\circ$

Таким образом, меньший угол равен $36^\circ$.

Найдем величину большего угла:

$4x = 4 \cdot 36^\circ = 144^\circ$

Итак, мы имеем два смежных угла, $36^\circ$ и $144^\circ$. При пересечении двух прямых образуются две пары равных вертикальных углов. Это означает, что будут два угла по $36^\circ$ и два угла по $144^\circ$.

Ответ: Два угла по $36^\circ$ и два угла по $144^\circ$.

1.83. Один из углов, которые получаются при пересечении двух прямых, на $50^{\circ}$ меньше другого. Найдите эти углы.

При пересечении двух прямых образуются четыре угла. Среди них есть смежные углы (сумма которых равна $180^\circ$) и вертикальные углы (которые равны друг другу). Условие, что один угол меньше другого, может относиться только к паре смежных углов, так как вертикальные углы равны.

Пусть величина одного из смежных углов равна $x$. Тогда, согласно условию задачи, величина другого угла будет $x - 50^\circ$.

Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Составим и решим уравнение на основе этого свойства:

$x + (x - 50^\circ) = 180^\circ$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2x - 50^\circ = 180^\circ$

Перенесем $50^\circ$ в правую часть уравнения:

$2x = 180^\circ + 50^\circ$

$2x = 230^\circ$

Найдем $x$:

$x = \frac{230^\circ}{2}$

$x = 115^\circ$

Мы нашли величину большего угла. Теперь найдем величину меньшего угла:

$115^\circ - 50^\circ = 65^\circ$

Таким образом, при пересечении двух прямых образовались два смежных угла величиной $115^\circ$ и $65^\circ$. Так как вертикальные углы равны, то всего образуется две пары углов: два угла по $115^\circ$ и два угла по $65^\circ$.

Ответ: $65^\circ$, $115^\circ$, $65^\circ$, $115^\circ$.

1.84. Найдите угол между биссектрисами смежных углов (рис. 1.46).

Рис. 1.46

Пусть даны два смежных угла, например, $\angle DOC$ и $\angle COB$, как показано на рисунке. Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а две другие лежат на одной прямой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

$\angle DOC + \angle COB = 180^\circ$

Проведем биссектрису для каждого из этих углов. Пусть $OK$ — биссектриса угла $\angle DOC$, а $OA$ — биссектриса угла $\angle COB$.

По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части:

$\angle KOC = \frac{1}{2}\angle DOC$

$\angle COA = \frac{1}{2}\angle COB$

Угол между биссектрисами $OK$ и $OA$ — это угол $\angle KOA$. Он равен сумме углов $\angle KOC$ и $\angle COA$.

$\angle KOA = \angle KOC + \angle COA$

Теперь подставим в это равенство выражения для углов $\angle KOC$ и $\angle COA$ через исходные смежные углы:

$\angle KOA = \frac{1}{2}\angle DOC + \frac{1}{2}\angle COB$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки:

$\angle KOA = \frac{1}{2}(\angle DOC + \angle COB)$

Мы знаем, что сумма смежных углов $\angle DOC + \angle COB = 180^\circ$. Подставим это значение в нашу формулу:

$\angle KOA = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$

Таким образом, угол между биссектрисами смежных углов не зависит от величины самих углов и всегда составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

1.85. Докажите, что биссектрисы вертикальных углов лежат на одной прямой.

Пусть две прямые AB и CD пересекаются в точке O. При этом образуются две пары вертикальных углов: $\angle AOC$ и $\angle BOD$, а также $\angle AOD$ и $\angle BOC$. Докажем утверждение для одной пары, например, для $\angle AOC$ и $\angle BOD$.

Проведем луч OK — биссектрису угла $\angle AOC$, и луч OM — биссектрису угла $\angle BOD$. Нам необходимо доказать, что лучи OK и OM являются продолжениями друг друга, то есть лежат на одной прямой. Для этого достаточно показать, что угол $\angle KOM$ является развернутым, то есть его градусная мера равна $180^\circ$.

По определению биссектрисы угла:

$\angle KOC = \frac{1}{2}\angle AOC$

$\angle BOM = \frac{1}{2}\angle BOD$

По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AOC = \angle BOD$. Следовательно, равны и их половины: $\angle KOC = \angle BOM$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными, так как их стороны OA и OB образуют прямую AB. Сумма смежных углов равна $180^\circ$:

$\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$

Рассмотрим угол $\angle KOM$. Он состоит из суммы трех углов, расположенных последовательно: $\angle KOC$, $\angle COB$ и $\angle BOM$.

$\angle KOM = \angle KOC + \angle COB + \angle BOM$

В этой сумме заменим $\angle BOM$ на равный ему угол $\angle KOC$:

$\angle KOM = \angle KOC + \angle COB + \angle KOC = (2 \cdot \angle KOC) + \angle COB$

Так как OK — биссектриса угла $\angle AOC$, то $\angle AOC = 2 \cdot \angle KOC$. Подставим это выражение в формулу для смежных углов:

$(2 \cdot \angle KOC) + \angle COB = 180^\circ$

Сравнивая два последних полученных равенства, видим, что:

$\angle KOM = 180^\circ$

Поскольку угол $\angle KOM$ является развернутым, его стороны — лучи OK и OM — лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма половины первого вертикального угла, смежного с ним угла и половины второго вертикального угла составляет развернутый угол ($180^\circ$). Это означает, что биссектрисы двух вертикальных углов лежат на одной прямой.

1.86. Найдите угол между биссектрисой и продолжением одной из сторон данного угла, равного:

1) $50^{\circ}$;

2) $90^{\circ}$;

3) $150^{\circ}$.

1)

Пусть дан угол, который мы обозначим как $\angle AOB$, равный $50^{\circ}$. Проведем его биссектрису $OC$. По определению, биссектриса делит угол на две равные части:

$\angle AOC = \angle COB = \frac{\angle AOB}{2} = \frac{50^{\circ}}{2} = 25^{\circ}$

Далее, продолжим одну из сторон угла, например, сторону $OA$, за вершину $O$. Получим луч $OD$, который является продолжением луча $OA$. Угол $\angle AOD$ является развернутым, так как лучи $OA$ и $OD$ лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Таким образом, $\angle AOD = 180^{\circ}$.

Нам необходимо найти угол между биссектрисой $OC$ и продолжением стороны $OD$. Этот угол — $\angle COD$.

Углы $\angle AOC$ и $\angle COD$ имеют общую сторону $OC$, а две другие их стороны, $OA$ и $OD$, являются продолжениями друг друга. Следовательно, эти углы являются смежными, и их сумма равна $180^{\circ}$:

$\angle AOC + \angle COD = 180^{\circ}$

Выразим отсюда искомый угол $\angle COD$:

$\angle COD = 180^{\circ} - \angle AOC$

Подставив значение $\angle AOC$, получим:

$\angle COD = 180^{\circ} - 25^{\circ} = 155^{\circ}$

Ответ: $155^{\circ}$.

2)

Пусть данный угол $\angle AOB = 90^{\circ}$. Его биссектриса $OC$ делит его на два равных угла:

$\angle AOC = \angle COB = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$

Продолжение стороны $OA$ (луч $OD$) образует с ней развернутый угол $\angle AOD = 180^{\circ}$.

Искомый угол $\angle COD$ (угол между биссектрисой $OC$ и продолжением стороны $OD$) является смежным с углом $\angle AOC$. Их сумма равна $180^{\circ}$.

$\angle COD = 180^{\circ} - \angle AOC$

Подставим значение $\angle AOC$:

$\angle COD = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$

Ответ: $135^{\circ}$.

3)

Пусть данный угол $\angle AOB = 150^{\circ}$. Его биссектриса $OC$ делит его на два равных угла:

$\angle AOC = \angle COB = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ}$

Продолжение стороны $OA$ (луч $OD$) образует с ней развернутый угол $\angle AOD = 180^{\circ}$.

Искомый угол $\angle COD$ (угол между биссектрисой $OC$ и продолжением стороны $OD$) является смежным с углом $\angle AOC$. Их сумма равна $180^{\circ}$.

$\angle COD = 180^{\circ} - \angle AOC$

Подставим значение $\angle AOC$:

$\angle COD = 180^{\circ} - 75^{\circ} = 105^{\circ}$

Ответ: $105^{\circ}$.

1.87. Известно, что $\angle AOB = 35^\circ$, $\angle BOC = 50^\circ$. Найдите угол AOC. Для каждого из возможных случаев сделайте чертеж.

Данная задача имеет два возможных решения, которые зависят от взаимного расположения лучей OA, OB и OC, исходящих из общей вершины O.

Случай 1. Луч OB находится между лучами OA и OC.

В этом случае лучи OA и OC расположены по разные стороны от луча OB. Угол AOC является суммой углов AOB и BOC.

$ \angle AOC = \angle AOB + \angle BOC $

$ \angle AOC = 35^\circ + 50^\circ = 85^\circ $

Чертеж для данного случая:

Ответ: $85^\circ$.

Случай 2. Луч OA находится между лучами OB и OC (или луч OC между OA и OB).

В этом случае лучи OA и OC расположены по одну сторону от луча OB. Так как $ \angle BOC = 50^\circ $ больше, чем $ \angle AOB = 35^\circ $, то луч OA будет расположен внутри угла BOC. Следовательно, искомый угол AOC будет равен разности углов BOC и AOB.

$ \angle AOC = \angle BOC - \angle AOB $

$ \angle AOC = 50^\circ - 35^\circ = 15^\circ $

Чертеж для данного случая:

Ответ: $15^\circ$.

1.88. Угол $(ab)$ равен $120^\circ$, угол $(ac)$ равен $150^\circ$. Найдите угол $(bc)$. Для каждого случая сделайте чертеж.

Задача имеет два возможных решения, так как положение луча c относительно луча b не определено однозначно. Рассмотрим два случая.

Случай 1: Лучи b и c лежат по одну сторону от луча a.

В этом случае, если отложить лучи от общего начала, угол между лучами b и c будет равен разности углов, которые они образуют с лучом a.

Вычислим угол $(bc)$:

$∠(bc) = |∠(ac) - ∠(ab)| = |150^\circ - 120^\circ| = 30^\circ$

Для построения чертежа отложим от общего начала O луч a. Затем от луча a в одну и ту же сторону (например, против часовой стрелки) отложим угол $120^\circ$ для получения луча b, и угол $150^\circ$ для получения луча c.

Ответ: $30^\circ$

Случай 2: Лучи b и c лежат по разные стороны от луча a.

В этом случае лучи b и c находятся в разных полуплоскостях относительно прямой, содержащей луч a. Угол между b и c, измеряемый "вокруг" луча a, находится сложением углов, которые они образуют с лучом a.

Вычислим этот составной угол:

$∠(ab) + ∠(ac) = 120^\circ + 150^\circ = 270^\circ$

По определению, угол между двумя лучами — это наименьший угол между ними, который не превышает $180^\circ$. Полученный угол $270^\circ$ является большим (рефлекторным). Искомый меньший угол будет равен разности полного угла и рефлекторного:

$∠(bc) = 360^\circ - 270^\circ = 90^\circ$

Для построения чертежа отложим от общего начала O луч a. Затем от луча a в одну сторону (например, против часовой стрелки) отложим угол $120^\circ$ для получения луча b, а в другую сторону (по часовой стрелке) — угол $150^\circ$ для получения луча c.

Ответ: $90^\circ$

1.89. Докажите, что если луч исходит из вершины угла и образует с его сторонами равные острые углы, то он является биссектрисой угла.

Пусть дан угол $ \angle AOB $ с вершиной в точке $ O $ и сторонами-лучами $ OA $ и $ OB $. Пусть из вершины $ O $ исходит луч $ OC $, который, по условию задачи, образует со сторонами $ OA $ и $ OB $ равные острые углы. Это означает, что $ \angle AOC = \angle BOC $ и оба этих угла меньше $ 90^\circ $. Нам нужно доказать, что луч $ OC $ является биссектрисой угла $ \angle AOB $.

По определению, биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол на две равные части. Условие о равенстве углов ($ \angle AOC = \angle BOC $) нам дано в условии. Следовательно, для завершения доказательства необходимо строго показать, что луч $ OC $ проходит именно между сторонами $ OA $ и $ OB $.

Докажем это методом от противного. Предположим, что луч $ OC $ не проходит между сторонами $ OA $ и $ OB $, то есть лежит вне угла $ \angle AOB $. В этом случае возможны две ситуации.

Ситуация 1: Одна из сторон исходного угла, например $ OA $, окажется расположенной между лучом $ OC $ и другой стороной, $ OB $. Согласно аксиоме об измерении углов, если луч $ OA $ лежит внутри угла $ \angle COB $, то величина этого угла равна сумме величин углов, на которые он разделяется лучом $ OA $: $ \angle COB = \angle COA + \angle AOB $. По условию задачи $ \angle COA = \angle COB $. Подставив это в предыдущее равенство, получаем: $ \angle COA = \angle COA + \angle AOB $. Вычитая из обеих частей равенства величину $ \angle COA $, приходим к выводу, что $ \angle AOB = 0^\circ $. Это означает, что лучи $ OA $ и $ OB $ совпадают, что противоречит условию, так как они образуют угол (то есть являются различными лучами).

Ситуация 2: Лучи $ OA $, $ OB $ и $ OC $ таковы, что сумма углов между ними вокруг точки $ O $ составляет $ 360^\circ $. В этой конфигурации $ \angle AOB $, $ \angle BOC $ и $ \angle COA $ являются тремя углами, полностью окружающими точку $ O $. Их сумма равна $ 360^\circ $: $ \angle AOB + \angle BOC + \angle COA = 360^\circ $. Пусть, по условию, $ \angle AOC = \angle BOC = \alpha $, где $ \alpha $ — острый угол. Тогда: $ \angle AOB + \alpha + \alpha = 360^\circ $, что означает $ \angle AOB = 360^\circ - 2\alpha $. Поскольку $ \alpha < 90^\circ $, то $ 2\alpha < 180^\circ $, и, следовательно, $ \angle AOB > 180^\circ $ (то есть является развернутым или рефлексным). Биссектриса такого угла $ \angle AOB $ должна делить его на два равных угла, каждый из которых был бы равен $ \frac{\angle AOB}{2} = \frac{360^\circ - 2\alpha}{2} = 180^\circ - \alpha $. Однако по условию луч $ OC $ образует со сторонами углы величиной $ \alpha $. Равенство $ \alpha = 180^\circ - \alpha $ выполняется только при $ 2\alpha = 180^\circ $, то есть $ \alpha = 90^\circ $. Но это прямо противоречит условию задачи, что углы $ \angle AOC $ и $ \angle BOC $ являются острыми.

Таким образом, наше предположение о том, что луч $ OC $ лежит вне угла $ \angle AOB $, в любом возможном случае приводит к противоречию. Следовательно, это предположение неверно, и луч $ OC $ должен проходить между сторонами $ OA $ и $ OB $.

Поскольку луч $ OC $ исходит из вершины угла $ \angle AOB $, проходит между его сторонами и делит его на два равных угла ($ \angle AOC = \angle BOC $), он по определению является биссектрисой этого угла. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство основано на методе от противного. Предположение, что луч лежит вне угла, рассматривается в двух возможных конфигурациях. Каждая из них приводит к противоречию с условиями задачи: либо исходный угол равен $0^\circ$, либо углы, которые образует луч со сторонами, должны быть прямыми, а не острыми. Следовательно, луч обязан лежать внутри угла. А так как он по условию делит угол на две равные части, он является его биссектрисой по определению.

1.90. Докажите, что если биссектрисы углов $ABC$ и $CBD$ перпендикулярны, то точки $A$, $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Пусть даны два угла, $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $, которые имеют общую вершину $ B $ и общую сторону $ BC $. Пусть луч $ BE $ является биссектрисой угла $ \angle ABC $, а луч $ BF $ — биссектрисой угла $ \angle CBD $.

По определению биссектрисы, она делит угол на две равные части. Таким образом, мы имеем следующие равенства: $ \angle EBC = \frac{1}{2} \angle ABC $ и $ \angle CBF = \frac{1}{2} \angle CBD $.

Угол между биссектрисами $ BE $ и $ BF $ — это угол $ \angle EBF $. Поскольку углы $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $ имеют общую сторону $ BC $, луч $ BC $ лежит между лучами $ BE $ и $ BF $. Следовательно, величина угла $ \angle EBF $ равна сумме величин углов $ \angle EBC $ и $ \angle CBF $: $ \angle EBF = \angle EBC + \angle CBF $.

По условию задачи, биссектрисы $ BE $ и $ BF $ перпендикулярны. Это означает, что угол между ними равен $ 90^\circ $, то есть $ \angle EBF = 90^\circ $.

Подставим в это равенство выражения для углов $ \angle EBC $ и $ \angle CBF $, полученные из определения биссектрисы: $ \frac{1}{2} \angle ABC + \frac{1}{2} \angle CBD = 90^\circ $.

Вынесем общий множитель $ \frac{1}{2} $ за скобки: $ \frac{1}{2} (\angle ABC + \angle CBD) = 90^\circ $.

Чтобы найти сумму углов $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $, умножим обе части равенства на 2: $ \angle ABC + \angle CBD = 180^\circ $.

Сумма углов $ \angle ABC $ и $ \angle CBD $ образует угол $ \angle ABD $. Таким образом, $ \angle ABD = 180^\circ $.

Угол, равный $ 180^\circ $, является развернутым. Стороны развернутого угла (в данном случае, лучи $ BA $ и $ BD $) лежат на одной прямой. Следовательно, точки $ A, B $ и $ D $ лежат на одной прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

1.91. Даны три луча $a, b, c$ с общим началом. Известно, что $∠(ab) = ∠(ac) = ∠(bc) = 120^\circ$.

1) Проходит ли какой-нибудь из этих лучей между сторонами угла, образованного двумя другими лучами?

2) Может ли прямая, не проходящая через начало данных лучей, пересекать все три данных луча?

Обозначим общее начало лучей как точку $O$. По условию, углы между парами лучей равны: $\angle(ab) = \angle(ac) = \angle(bc) = 120^\circ$.

Сумма этих трех углов составляет $120^\circ + 120^\circ + 120^\circ = 360^\circ$. Для трех некомпланарных лучей (образующих трехгранный угол) сумма плоских углов при вершине всегда строго меньше $360^\circ$. Поскольку в данном случае сумма равна $360^\circ$, это означает, что все три луча $a$, $b$ и $c$ лежат в одной плоскости. Они делят эту плоскость на три равных угла по $120^\circ$.

1)

Луч проходит между сторонами угла, образованного двумя другими лучами, если угол между этими двумя лучами равен сумме углов, которые внутренний луч образует с каждым из них.

Проверим, проходит ли луч $c$ между лучами $a$ и $b$. Для этого должно выполняться равенство: $\angle(ab) = \angle(ac) + \angle(cb)$. Подставив значения, получаем: $120^\circ = 120^\circ + 120^\circ$, или $120^\circ = 240^\circ$. Это неверно.

Аналогичные проверки для луча $b$ (между $a$ и $c$) и луча $a$ (между $b$ и $c$) также приводят к неверному равенству $120^\circ = 240^\circ$. Таким образом, ни один из лучей не проходит между сторонами угла, образованного двумя другими.

Ответ: нет.

2)

Как было установлено, все три луча лежат в одной плоскости. Следовательно, прямая, которая пересекает все три луча, также должна лежать в этой плоскости (поскольку лучи не лежат на одной прямой).

Предположим, что такая прямая $L$ существует. Она не проходит через общее начало лучей $O$. Пусть $A$, $B$ и $C$ — точки пересечения прямой $L$ с лучами $a$, $b$ и $c$ соответственно.

Так как точки $A$, $B$ и $C$ лежат на одной прямой, одна из них находится между двумя другими. Пусть, для определенности, точка $B$ лежит между точками $A$ и $C$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAC$. Луч $OB$ (то есть луч $b$) выходит из вершины $O$ и пересекает противоположную сторону $AC$ в точке $B$. Это означает, что луч $b$ проходит внутри угла $\angle AOC$, образованного лучами $a$ и $c$.

Но если луч $b$ проходит между лучами $a$ и $c$, то должно выполняться равенство $\angle(ac) = \angle(ab) + \angle(bc)$. Как мы выяснили в пункте 1), это равенство неверно: $120^\circ \neq 120^\circ + 120^\circ$.

Мы пришли к противоречию. Аналогичное противоречие возникает при любом другом расположении точек $A$, $B$, $C$ на прямой. Следовательно, наше предположение о существовании такой прямой неверно.

Ответ: нет.

1.92. $\Delta ABC = \Delta PQR$, $\angle R = 55^\circ$ и $AB = 12$ см. Найдите:

1) $\angle C$ и $PQ$;

2) может ли периметр $\Delta ABC$ быть больше периметра $\Delta PQR$ на 6 см?

1) ∠C и PQ:

По условию задачи дано, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle PQR$ равны, то есть $\triangle ABC = \triangle PQR$.

Из равенства треугольников следует, что их соответствующие элементы (углы и стороны) равны. Порядок вершин в записи равенства указывает на соответствие: вершина A соответствует вершине P, B — вершине Q, а C — вершине R.

Следовательно, угол $\angle C$ в $\triangle ABC$ равен соответствующему углу $\angle R$ в $\triangle PQR$. Поскольку дано, что $\angle R = 55^\circ$, то и $\angle C = 55^\circ$.

Аналогично, сторона $AB$ в $\triangle ABC$ равна соответствующей стороне $PQ$ в $\triangle PQR$. Поскольку дано, что $AB = 12$ см, то и $PQ = 12$ см.

Ответ: $\angle C = 55^\circ$, $PQ = 12$ см.

2) может ли периметр $\triangle ABC$ быть больше периметра $\triangle PQR$ на 6 см?

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Периметр $\triangle ABC$ вычисляется по формуле: $P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC$. Периметр $\triangle PQR$ вычисляется по формуле: $P_{\triangle PQR} = PQ + QR + PR$.

Как было установлено ранее, из равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle PQR$ следует равенство их соответствующих сторон:

• $AB = PQ$
• $BC = QR$
• $AC = PR$

Подставим равные значения сторон из $\triangle PQR$ в формулу периметра $\triangle ABC$: $P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = PQ + QR + PR$.

Правая часть этого равенства является формулой для периметра $\triangle PQR$. Таким образом, мы получаем, что $P_{\triangle ABC} = P_{\triangle PQR}$.

Это означает, что периметры равных треугольников всегда равны. Разница между их периметрами равна нулю. Следовательно, периметр $\triangle ABC$ не может быть больше периметра $\triangle PQR$ на 6 см или на любую другую величину, отличную от нуля.

Ответ: Нет, не может, так как периметры равных треугольников равны.