Страница 24 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.48. $\Delta ABC = \Delta PQR$, $AB = 5$ см, $BC = 6$ см и $AC = 7$ см.
Найдите стороны треугольника $PQR$.

По условию задачи дано, что треугольники $ABC$ и $PQR$ равны, что записывается как $\triangle ABC = \triangle PQR$.

Равенство (или конгруэнтность) треугольников означает, что их соответствующие стороны и соответствующие углы равны. Порядок вершин в записи равенства треугольников указывает на соответствие между вершинами и, следовательно, сторонами и углами.

Из записи $\triangle ABC = \triangle PQR$ следует, что:

• вершина $A$ соответствует вершине $P$;
• вершина $B$ соответствует вершине $Q$;
• вершина $C$ соответствует вершине $R$.

Следовательно, соответствующие стороны этих треугольников также равны:

• сторона $AB$ соответствует стороне $PQ$, значит, $PQ = AB$;
• сторона $BC$ соответствует стороне $QR$, значит, $QR = BC$;
• сторона $AC$ соответствует стороне $PR$, значит, $PR = AC$.

Используя данные из условия задачи, находим длины сторон треугольника $PQR$:

• $PQ = AB = 5$ см;
• $QR = BC = 6$ см;
• $PR = AC = 7$ см.

Ответ: стороны треугольника $PQR$ равны: $PQ = 5$ см, $QR = 6$ см, $PR = 7$ см.

1.49. $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$, $\angle A = 40^\circ$, $\angle B_1 = 60^\circ$, $\angle C_1 = 80^\circ$.
Найдите углы треугольника ABC.

По определению равных треугольников, их соответствующие углы равны. Запись $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ означает, что вершина $A$ соответствует вершине $A_1$, вершина $B$ — вершине $B_1$, а вершина $C$ — вершине $C_1$. Следовательно, равны и соответствующие углы: $\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$ и $\angle C = \angle C_1$.

Из условия задачи нам известны следующие значения углов: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B_1 = 60^\circ$, $\angle C_1 = 80^\circ$.

Используя соответствие углов равных треугольников, находим углы треугольника $ABC$:

Угол $A$ уже дан в условии: $\angle A = 40^\circ$.

Угол $B$ треугольника $ABC$ равен соответствующему ему углу $B_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Таким образом, $\angle B = \angle B_1 = 60^\circ$.

Угол $C$ треугольника $ABC$ равен соответствующему ему углу $C_1$ треугольника $A_1B_1C_1$. Таким образом, $\angle C = \angle C_1 = 80^\circ$.

Для проверки можно убедиться, что сумма углов треугольника $ABC$ составляет $180^\circ$: $40^\circ + 60^\circ + 80^\circ = 180^\circ$. Сумма верна, следовательно, углы найдены правильно.

Ответ: $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 60^\circ$, $\angle C = 80^\circ$.

1.50. Треугольники $ABC$, $PQR$ и $XYZ$ равны. Известно, что $AB = 5$ см, $QR = 6$ см, $XZ = 7$ см. Найдите остальные стороны каждого треугольника (рис. 1.34).

Поскольку треугольники $ABC$, $PQR$ и $XYZ$ равны, их соответствующие стороны также равны. При равенстве треугольников $\triangle ABC = \triangle PQR = \triangle XYZ$ соответствие вершин и сторон определяется порядком их записи:

• Сторона $AB$ треугольника $ABC$ соответствует стороне $PQ$ треугольника $PQR$ и стороне $XY$ треугольника $XYZ$.
• Сторона $BC$ треугольника $ABC$ соответствует стороне $QR$ треугольника $PQR$ и стороне $YZ$ треугольника $XYZ$.
• Сторона $AC$ треугольника $ABC$ соответствует стороне $PR$ треугольника $PQR$ и стороне $XZ$ треугольника $XYZ$.

Таким образом, можно записать следующие равенства для длин сторон:

$AB = PQ = XY$

$BC = QR = YZ$

$AC = PR = XZ$

Из условия задачи нам известны длины следующих сторон:

$AB = 5$ см

$QR = 6$ см

$XZ = 7$ см

Используя эти данные, найдем все остальные стороны.

Так как $AB = 5$ см, то и $PQ = 5$ см, и $XY = 5$ см.

Так как $QR = 6$ см, то и $BC = 6$ см, и $YZ = 6$ см.

Так как $XZ = 7$ см, то и $AC = 7$ см, и $PR = 7$ см.

Теперь определим оставшиеся стороны для каждого треугольника.

Для треугольника ABC

Известна сторона $AB = 5$ см. Неизвестными являются стороны $BC$ и $AC$.

$BC = QR = 6$ см.

$AC = XZ = 7$ см.

Ответ: $BC = 6$ см, $AC = 7$ см.

Для треугольника PQR

Известна сторона $QR = 6$ см. Неизвестными являются стороны $PQ$ и $PR$.

$PQ = AB = 5$ см.

$PR = XZ = 7$ см.

Ответ: $PQ = 5$ см, $PR = 7$ см.

Для треугольника XYZ

Известна сторона $XZ = 7$ см. Неизвестными являются стороны $XY$ и $YZ$.

$XY = AB = 5$ см.

$YZ = QR = 6$ см.

Ответ: $XY = 5$ см, $YZ = 6$ см.

1.51. $\triangle ABC = \triangle MNP$.

1) Найдите сторону $BC$ и угол $C$, если $NP = 12$ см, $\angle P = 12^{\circ}1'$.

2) Могут ли быть равными стороны $AB$ и $BC$ в треугольнике $ABC$, если все стороны треугольника $MNP$ имеют разные длины?

1)

Из условия, что треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle MNP$ равны ($\triangle ABC = \triangle MNP$), следует, что их соответствующие элементы (стороны и углы) равны. Порядок букв в названии треугольников указывает на соответствие вершин: вершина A соответствует вершине M, B — N, C — P.

Соответствующей стороной для стороны BC является сторона NP. Следовательно, их длины равны: $BC = NP$.

Так как по условию $NP = 12$ см, то и $BC = 12$ см.

Соответствующим углом для угла C является угол P. Следовательно, их величины равны: $\angle C = \angle P$.

Так как по условию $\angle P = 121^\circ 1'$, то и $\angle C = 121^\circ 1'$.

Ответ: $BC = 12$ см, $\angle C = 121^\circ 1'$.

2)

Из равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle MNP$ следует равенство их соответствующих сторон: $AB = MN$, $BC = NP$ и $AC = MP$.

Допустим, что стороны AB и BC в треугольнике ABC равны, то есть $AB = BC$.

Поскольку $AB = MN$ и $BC = NP$, то из равенства $AB = BC$ следовало бы равенство $MN = NP$.

Однако это противоречит условию, что все стороны треугольника MNP имеют разные длины. Если все стороны $\triangle MNP$ разные, то, в частности, $MN \neq NP$.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное допущение было неверным. Следовательно, стороны AB и BC в треугольнике ABC не могут быть равными.

Ответ: нет, не могут.

1.52. $\triangle ABC = \triangle QPT$, причем $\angle B = 17^\circ 35'$, $QT = 23$ см.

1) Могут ли быть равными все углы треугольника ABC,

если два угла треугольника QPT имеют различные градусные меры?

2) Найдите $AC$ и угол $P$.

1) Могут ли быть равными все углы треугольника ABC, если два угла треугольника QPT имеют различные градусные меры?

Если бы все углы треугольника $ABC$ были равны, то он был бы равносторонним, и каждый его угол составлял бы $180^\circ / 3 = 60^\circ$.

Однако по условию задачи нам известно, что $\angle B = 17^\circ35'$. Поскольку $17^\circ35' \neq 60^\circ$, то все углы треугольника $ABC$ не могут быть равными.

Дополнительное условие о том, что два угла треугольника $QPT$ имеют различные градусные меры, является следствием равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle QPT$. Из этого равенства следует, что $\angle P = \angle B = 17^\circ35'$. Так как один из углов треугольника $QPT$ не равен $60^\circ$, то и сам треугольник не является равносторонним, а значит, не все его углы равны между собой. Следовательно, как минимум два его угла имеют различные градусные меры.

Ответ: Нет, не могут, так как по условию $\angle B = 17^\circ35'$, а в треугольнике с равными углами каждый угол должен быть равен $60^\circ$.

2) Найдите AC и угол P.

Из условия известно, что $\triangle ABC = \triangle QPT$. В равных треугольниках соответствующие стороны и соответствующие углы равны.

Соответствие вершин в данных треугольниках следующее: вершина A соответствует вершине Q, вершина B — вершине P, вершина C — вершине T.

Исходя из этого соответствия, находим равенство искомых элементов:

1. Сторона $AC$ в треугольнике $ABC$ соответствует стороне $QT$ в треугольнике $QPT$. Следовательно, их длины равны: $AC = QT$.

2. Угол $P$ в треугольнике $QPT$ соответствует углу $B$ в треугольнике $ABC$. Следовательно, их градусные меры равны: $\angle P = \angle B$.

По условию задачи нам даны значения $QT = 23$ см и $\angle B = 17^\circ35'$.

Таким образом, мы можем найти искомые величины:

$AC = QT = 23$ см.

$\angle P = \angle B = 17^\circ35'$.

Ответ: $AC = 23$ см, $\angle P = 17^\circ35'$.

1.53 Дан треугольник $ABC$. Сколько прямых, параллельных стороне $AB$, можно провести через вершину $C$?

Для решения этой задачи необходимо воспользоваться аксиомой параллельных прямых, которая является одним из фундаментальных положений евклидовой геометрии (также известна как V постулат Евклида).

Эта аксиома утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной.

В условиях нашей задачи в качестве «данной прямой» выступает прямая, содержащая сторону $AB$ треугольника $ABC$. В качестве «точки, не лежащей на данной прямой» — вершина $C$. Поскольку точки $A$, $B$ и $C$ являются вершинами треугольника, то вершина $C$ по определению не лежит на прямой $AB$.

Таким образом, на основании аксиомы параллельных прямых, через вершину $C$ можно провести единственную прямую, параллельную стороне $AB$.

Ответ: можно провести одну прямую.

1.54. Дан треугольник $ABC$. Существует ли другой, равный ему треугольник $ABD$?

Да, такой треугольник существует.

Для того чтобы треугольник $ABD$ был равен треугольнику $ABC$, их соответствующие стороны должны быть равны. Равенство треугольников $\triangle ABD = \triangle ABC$ при соответствии вершин $A \leftrightarrow A$, $B \leftrightarrow B$ и $C \leftrightarrow D$ будет выполняться, если будут равны их соответствующие стороны. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), для этого необходимо и достаточно выполнение следующих условий: сторона $AB$ — общая, $AD = AC$ и $BD = BC$.

Мы можем построить точку $D$, удовлетворяющую этим условиям. Условие $AD = AC$ означает, что точка $D$ должна лежать на окружности с центром в точке $A$ и радиусом $AC$. Условие $BD = BC$ означает, что точка $D$ должна лежать на окружности с центром в точке $B$ и радиусом $BC$.

Таким образом, искомая точка $D$ является точкой пересечения этих двух окружностей. Мы знаем, что точка $C$ уже является одной из точек их пересечения. Поскольку по условию $A$, $B$ и $C$ являются вершинами треугольника, они не лежат на одной прямой. Из неравенства треугольника для $\triangle ABC$ следует, что $AC + BC > AB$. Это условие гарантирует, что данные окружности пересекаются ровно в двух различных точках. Одна из них — это точка $C$. Обозначим вторую точку пересечения как $D$.

Геометрически, точка $D$ симметрична точке $C$ относительно прямой $AB$. Так как точка $C$ не лежит на прямой $AB$ (иначе $ABC$ не был бы треугольником), ее отражение $D$ не совпадает с ней. Следовательно, треугольник $ABD$ — это другой, отличный от $ABC$, треугольник. При этом, по построению, у треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ABD$ сторона $AB$ общая, а две другие стороны соответственно равны: $AD = AC$ и $BD = BC$. Значит, по третьему признаку равенства треугольников, $\triangle ABD = \triangle ABC$.

Ответ: Да, существует.

1.55. Прямая $a$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $BC$ и $AC$ пересекают прямую $a$.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного. Разделим доказательство на две части, по одной для каждой прямой.

Докажем, что прямая BC пересекает прямую a

Предположим обратное: прямая BC не пересекает прямую a. В геометрии на плоскости это означает, что данные прямые параллельны, то есть $BC \parallel a$.

По условию задачи, прямая a параллельна стороне AB треугольника ABC, то есть $a \parallel AB$.

Таким образом, мы имеем, что прямая BC параллельна прямой a ($BC \parallel a$), и прямая AB также параллельна прямой a ($AB \parallel a$).

Согласно аксиоме параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следствием из этой аксиомы является свойство транзитивности: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Из $BC \parallel a$ и $AB \parallel a$ следует, что $BC \parallel AB$.

Однако это заключение противоречит тому факту, что ABC — это треугольник. Стороны BC и AB имеют общую вершину B, то есть пересекаются в этой точке. Пересекающиеся прямые по определению не могут быть параллельными. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Прямая BC пересекает прямую a.

Докажем, что прямая AC пересекает прямую a

Доказательство для прямой AC полностью аналогично предыдущему.

Предположим обратное: прямая AC не пересекает прямую a. Это значит, что $AC \parallel a$.

По условию мы знаем, что $a \parallel AB$.

По свойству транзитивности параллельных прямых, из $AC \parallel a$ и $a \parallel AB$ следует, что $AC \parallel AB$.

Данный вывод вступает в противоречие с тем, что AC и AB являются сторонами треугольника ABC и пересекаются в общей вершине A. Следовательно, они не могут быть параллельны.

Таким образом, наше предположение было ложным.

Ответ: Прямая AC пересекает прямую a.

1.56. Может ли прямая, не проходящая через вершину треугольника, пересекать каждую его сторону? Обоснуйте ответ.

Нет, такая прямая не может пересекать каждую сторону треугольника. Обоснуем это утверждение методом от противного, используя так называемую аксиому Паша.

Предположим, что существует прямая $l$, которая не проходит через вершины треугольника $ABC$, но пересекает все три его стороны: $AB$, $BC$ и $CA$.

Любая прямая на плоскости делит эту плоскость на две открытые полуплоскости. Поскольку прямая $l$ не проходит ни через одну из вершин $A$, $B$, $C$, каждая из этих вершин должна лежать в одной из двух полуплоскостей.

Чтобы прямая пересекла отрезок, концы этого отрезка должны лежать в разных полуплоскостях.

1. Если прямая $l$ пересекает сторону $AB$, это значит, что вершины $A$ и $B$ находятся в разных полуплоскостях. Допустим, вершина $A$ лежит в первой полуплоскости, а вершина $B$ — во второй.
2. Если прямая $l$ также пересекает сторону $BC$, то вершины $B$ и $C$ тоже должны лежать в разных полуплоскостях. Так как $B$ находится во второй полуплоскости, то $C$ должна находиться в первой.
3. Теперь рассмотрим третью сторону — $CA$. Мы выяснили, что и вершина $C$, и вершина $A$ лежат в первой полуплоскости. Если оба конца отрезка лежат в одной и той же полуплоскости, то весь отрезок целиком принадлежит этой полуплоскости и не может пересекаться с прямой $l$, которая является границей этой полуплоскости.

Мы пришли к противоречию. Наше предположение о том, что прямая $l$ пересекает все три стороны, привело к выводу, что она не может пересекать третью сторону $CA$. Следовательно, исходное предположение было неверным. Прямая линия может пересечь контур треугольника только в четном числе точек, то есть максимум в двух (так как прямая не может "развернуться" и пересечь контур еще раз).

Ответ: Нет, не может.

1.57. $ \triangle ABC = \triangle SKT. AB = 17 $ дм, $ \angle K = 70^\circ 18' $.

1) Найдите угол $ B $ и сторону $ SK $.

2) Может ли периметр треугольника $ SKT $ быть больше периметра треугольника $ ABC $?

1)

По определению равных треугольников, у них равны соответствующие стороны и соответствующие углы. Из условия, что $ \triangle ABC = \triangle SKT $, следует, что вершины, углы и стороны одного треугольника соответственно равны вершинам, углам и сторонам другого. Порядок вершин в записи равенства треугольников указывает на соответствие:

• Вершина A соответствует вершине S.
• Вершина B соответствует вершине K.
• Вершина C соответствует вершине T.

Отсюда следует равенство соответствующих углов и сторон:

$ \angle A = \angle S $, $ \angle B = \angle K $, $ \angle C = \angle T $

$ AB = SK $, $ BC = KT $, $ AC = ST $

В задаче дано, что $ \angle K = 70^\circ18' $. Угол B в треугольнике ABC соответствует углу K в треугольнике SKT. Следовательно, их величины равны:

$ \angle B = \angle K = 70^\circ18' $.

Также дано, что сторона $ AB = 17 $ дм. Сторона SK в треугольнике SKT соответствует стороне AB в треугольнике ABC. Следовательно, их длины равны:

$ SK = AB = 17 $ дм.

Ответ: $ \angle B = 70^\circ18' $, $ SK = 17 $ дм.

2)

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон.

Периметр треугольника ABC ($ P_{ABC} $) вычисляется по формуле: $ P_{ABC} = AB + BC + AC $.

Периметр треугольника SKT ($ P_{SKT} $) вычисляется по формуле: $ P_{SKT} = SK + KT + ST $.

Как мы установили в пункте 1, из равенства треугольников $ \triangle ABC = \triangle SKT $ следует равенство их соответствующих сторон:

$ SK = AB $

$ KT = BC $

$ ST = AC $

Если мы подставим равные стороны из треугольника ABC в формулу периметра для треугольника SKT, мы получим:

$ P_{SKT} = SK + KT + ST = AB + BC + AC = P_{ABC} $.

Это означает, что периметры равных треугольников всегда равны. Таким образом, периметр треугольника SKT не может быть больше периметра треугольника ABC. Они равны.

Ответ: Нет, не может.

1.58. $\triangle ABC = \triangle SKT$.

1) Найдите $AC$ и $\angle K$, если $\angle B = 121^\circ 15'$, $ST = 16 \text{ дм}$.

2) Может ли отношение периметров данных треугольников быть равным двум?

Рис. 1.34

1)

По определению, равные треугольники (конгруэнтные треугольники) — это треугольники, которые можно совместить наложением. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны, и наоборот.

Из условия, что треугольник $ABC$ равен треугольнику $SKT$ ($\triangle ABC = \triangle SKT$), следует, что их соответствующие вершины, стороны и углы равны. Соответствие вершин определяется порядком их записи: вершина A соответствует вершине S, вершина B — вершине K, вершина C — вершине T.

Следовательно, равны соответствующие углы: $\angle A = \angle S$, $\angle B = \angle K$, $\angle C = \angle T$.

И равны соответствующие стороны: $AB = SK$, $BC = KT$, $AC = ST$.

Нам дано, что $\angle B = 121^\circ15'$. Так как угол $\angle B$ соответствует углу $\angle K$, то их величины равны:

$\angle K = \angle B = 121^\circ15'$.

Нам дано, что сторона $ST = 16$ дм. Так как сторона $AC$ соответствует стороне $ST$, то их длины равны:

$AC = ST = 16$ дм.

Ответ: $AC = 16$ дм, $\angle K = 121^\circ15'$.

2)

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Обозначим периметры треугольников $ABC$ и $SKT$ как $P_{\triangle ABC}$ и $P_{\triangle SKT}$ соответственно.

$P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC$

$P_{\triangle SKT} = SK + KT + ST$

Как мы установили в пункте 1, из равенства треугольников $\triangle ABC = \triangle SKT$ следует равенство их соответствующих сторон:

$AB = SK$

$BC = KT$

$AC = ST$

Это означает, что периметры данных треугольников также равны:

$P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC = SK + KT + ST = P_{\triangle SKT}$

Отношение периметров двух равных (конгруэнтных) треугольников всегда равно единице, так как их периметры равны:

$\frac{P_{\triangle ABC}}{P_{\triangle SKT}} = 1$

Поскольку отношение периметров равно 1, оно не может быть равным 2.

Ответ: Нет, не может, так как периметры равных треугольников равны, и их отношение равно 1.