Номер 1.56, страница 24 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.56. Может ли прямая, не проходящая через вершину треугольника, пересекать каждую его сторону? Обоснуйте ответ.

Нет, такая прямая не может пересекать каждую сторону треугольника. Обоснуем это утверждение методом от противного, используя так называемую аксиому Паша.

Предположим, что существует прямая $l$, которая не проходит через вершины треугольника $ABC$, но пересекает все три его стороны: $AB$, $BC$ и $CA$.

Любая прямая на плоскости делит эту плоскость на две открытые полуплоскости. Поскольку прямая $l$ не проходит ни через одну из вершин $A$, $B$, $C$, каждая из этих вершин должна лежать в одной из двух полуплоскостей.

Чтобы прямая пересекла отрезок, концы этого отрезка должны лежать в разных полуплоскостях.

1. Если прямая $l$ пересекает сторону $AB$, это значит, что вершины $A$ и $B$ находятся в разных полуплоскостях. Допустим, вершина $A$ лежит в первой полуплоскости, а вершина $B$ — во второй.
2. Если прямая $l$ также пересекает сторону $BC$, то вершины $B$ и $C$ тоже должны лежать в разных полуплоскостях. Так как $B$ находится во второй полуплоскости, то $C$ должна находиться в первой.
3. Теперь рассмотрим третью сторону — $CA$. Мы выяснили, что и вершина $C$, и вершина $A$ лежат в первой полуплоскости. Если оба конца отрезка лежат в одной и той же полуплоскости, то весь отрезок целиком принадлежит этой полуплоскости и не может пересекаться с прямой $l$, которая является границей этой полуплоскости.

Мы пришли к противоречию. Наше предположение о том, что прямая $l$ пересекает все три стороны, привело к выводу, что она не может пересекать третью сторону $CA$. Следовательно, исходное предположение было неверным. Прямая линия может пересечь контур треугольника только в четном числе точек, то есть максимум в двух (так как прямая не может "развернуться" и пересечь контур еще раз).

Ответ: Нет, не может.