Номер 1.59, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.59. Дан треугольник $ABC$. Прямая $m$ параллельна прямой $AD$, $D \in BC$, $P \in AB$, $Q \in AC$ и $PQ \parallel BC$. Докажите, что прямая $m$ пересекает прямые $AB, AC, BC, PD, PQ$ и $QD$ (рис. 1.35).

Рис. 1.35

В основе доказательства лежит тот факт, что две прямые на плоскости пересекаются тогда и только тогда, когда они не параллельны. По условию задачи, прямая $m$ параллельна прямой $AD$ ($m \parallel AD$). Следовательно, чтобы доказать, что прямая $m$ пересекает какую-либо прямую $l$, достаточно доказать, что прямая $l$ не параллельна прямой $AD$ ($l \not\parallel AD$). В решении мы будем исходить из общего положения точек, как показано на рисунке, где точки $D, P, Q$ не совпадают с вершинами треугольника, так как обратное приводило бы к вырожденным случаям, для которых утверждение задачи не всегда выполняется.

Прямая AB

Докажем, что прямая $AB$ не параллельна прямой $AD$. Эти две прямые имеют общую точку $A$. Две прямые, проходящие через одну точку, не параллельны, если они не совпадают. Прямые $AB$ и $AD$ могли бы совпасть только в том случае, если бы точка $D$ лежала на прямой $AB$. По условию, точка $D$ лежит на прямой $BC$. Так как $ABC$ — это треугольник, его вершины не лежат на одной прямой, и прямые $AB$ и $BC$ пересекаются в единственной точке $B$. Следовательно, для того чтобы точка $D$ лежала на прямой $AB$, необходимо, чтобы $D$ совпадала с $B$. В общем (невырожденном) случае $D \neq B$, поэтому прямые $AB$ и $AD$ различны. Так как они пересекаются в точке $A$, они не параллельны. Из $AB \not\parallel AD$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel AB$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $AB$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $AB$.

Прямая AC

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Прямые $AC$ и $AD$ имеют общую точку $A$. Они не совпадают, поскольку точка $D$ лежит на прямой $BC$, а единственной общей точкой прямых $AC$ и $BC$ является точка $C$. В общем случае $D \neq C$, поэтому прямые $AC$ и $AD$ различны. Так как они пересекаются в точке $A$, они не параллельны. Из $AC \not\parallel AD$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel AC$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $AC$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $AC$.

Прямая BC

Докажем, что прямая $BC$ не параллельна прямой $AD$. По условию, точка $D$ принадлежит прямой $BC$ ($D \in BC$). Это означает, что прямая $AD$ имеет общую точку $D$ с прямой $BC$. Так как $A, B, C$ — вершины треугольника, точка $A$ не лежит на прямой $BC$, поэтому прямые $AD$ и $BC$ не совпадают. Поскольку прямые $AD$ и $BC$ пересекаются, они не параллельны. Из $BC \not\parallel AD$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel BC$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $BC$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $BC$.

Прямая PD

Докажем, что прямая $PD$ не параллельна прямой $AD$. Эти прямые имеют общую точку $D$. Они не параллельны, если не совпадают. Совпадение прямых $PD$ и $AD$ возможно только если точка $P$ лежит на прямой $AD$. По условию, $P \in AB$. Общей точкой прямых $AB$ и $AD$ является точка $A$. Значит, $P$ может лежать на прямой $AD$ только если $P=A$. Если $P=A$, то из условия $PQ \parallel BC$ и теоремы Фалеса следует, что $Q=A$, и в этом случае прямая $PQ$ не определена. Следовательно, $P \neq A$, и прямые $PD$ и $AD$ различны. Так как они пересекаются в точке $D$, они не параллельны. Из $PD \not\parallel AD$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel PD$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $PD$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $PD$.

Прямая QD

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Прямые $QD$ и $AD$ имеют общую точку $D$. Они не совпадают, так как $Q \in AC$ и $Q \neq A$. Следовательно, прямые $QD$ и $AD$ пересекаются и не параллельны. Из $QD \not\parallel AD$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel QD$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $QD$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $QD$.

Прямая PQ

Докажем, что прямая $PQ$ не параллельна прямой $AD$. По условию $PQ \parallel BC$. Ранее мы установили, что прямые $AD$ и $BC$ пересекаются в точке $D$, а значит, они не параллельны ($AD \not\parallel BC$). Допустим, что $AD \parallel PQ$. Тогда из $AD \parallel PQ$ и $PQ \parallel BC$ по свойству транзитивности параллельности прямых следовало бы, что $AD \parallel BC$. Это противоречит ранее установленному факту. Значит, наше допущение неверно, и $AD \not\parallel PQ$. Из $AD \not\parallel PQ$ и $m \parallel AD$ следует, что $m \not\parallel PQ$. Следовательно, прямая $m$ пересекает прямую $PQ$.

Ответ: Прямая $m$ пересекает прямую $PQ$.