Номер 1.64, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.64. Через точку, не лежащую на прямой $a$, проведены три прямые. Докажите, что, по крайней мере, две из них пересекают прямую $a$.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного.

Пусть дана прямая $a$ и точка $M$, не лежащая на этой прямой ($M \notin a$). Через точку $M$ проведены три различные прямые, назовем их $b$, $c$ и $d$.

Предположим, что утверждение задачи неверно. Это означает, что прямую $a$ пересекает менее двух прямых из данных трех, то есть только одна прямая или ни одной. Это эквивалентно тому, что по крайней мере две из трех прямых ($b$, $c$ и $d$) не пересекают прямую $a$.

Пусть, для определенности, прямые $b$ и $c$ не пересекают прямую $a$. В евклидовой геометрии на плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны. Следовательно, из нашего предположения следует, что прямая $b$ параллельна прямой $a$ ($b \parallel a$) и прямая $c$ также параллельна прямой $a$ ($c \parallel a$).

Таким образом, мы пришли к выводу, что через одну и ту же точку $M$ проходят две различные прямые ($b$ и $c$), и обе они параллельны одной и той же прямой $a$.

Однако это противоречит аксиоме о параллельных прямых (пятому постулату Евклида), которая гласит, что через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Полученное противоречие доказывает, что наше первоначальное предположение было ложным. Следовательно, исходное утверждение является верным: по крайней мере, две из трех прямых, проведенных через точку, не лежащую на прямой $a$, пересекают эту прямую.

Ответ: Утверждение доказано.