Номер 1.60, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.60. Дан треугольник $ABC$. На стороне $AC$ взята точка $B_1$, а на стороне $BC$ – точка $A_1$. Докажите, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются.

Для доказательства того, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ пересекаются, необходимо рассмотреть все возможные расположения точек $A_1$ и $B_1$ на сторонах треугольника. Разделим доказательство на два случая.

Случай 1: Точки $A_1$ и $B_1$ являются внутренними точками сторон $BC$ и $AC$ соответственно.

Это означает, что точка $A_1$ лежит на отрезке $BC$, но не совпадает с вершинами $B$ и $C$, а точка $B_1$ лежит на отрезке $AC$, но не совпадает с вершинами $A$ и $C$.

Рассмотрим треугольник $ABC$ и прямую, проходящую через точки $A$ и $A_1$. Обозначим эту прямую $l(AA_1)$. Поскольку точка $A_1$ лежит на стороне $BC$ между точками $B$ и $C$, вершины $B$ и $C$ треугольника находятся в разных полуплоскостях относительно прямой $l(AA_1)$.

Теперь определим положение точки $B_1$. Точка $B_1$ по условию лежит на стороне $AC$. Весь отрезок $AC$ (за исключением точки $A$, которая принадлежит прямой $l(AA_1)$) расположен в одной полуплоскости относительно этой прямой. Это та же полуплоскость, в которой находится вершина $C$. Следовательно, точки $B_1$ и $C$ лежат в одной и той же полуплоскости относительно прямой $l(AA_1)$.

Так как точка $B$ находится в одной полуплоскости, а точка $C$ — в другой, и при этом точки $B_1$ и $C$ находятся в одной полуплоскости, то отсюда следует, что точки $B$ и $B_1$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $l(AA_1)$.

Согласно аксиоме о разделении плоскости, если концы отрезка лежат в разных полуплоскостях относительно некоторой прямой, то этот отрезок пересекает данную прямую. Таким образом, отрезок $BB_1$ пересекает прямую $AA_1$ в некоторой точке, назовем ее $O$.

Далее необходимо показать, что точка пересечения $O$ принадлежит не только прямой $AA_1$, но и отрезку $AA_1$. Точка $O$ по определению принадлежит отрезку $BB_1$. Отрезок $BB_1$ соединяет вершину $B$ треугольника с точкой $B_1$ на противолежащей стороне $AC$. Такой отрезок (называемый чевианой) целиком содержится внутри треугольника $ABC$ или на его границе. Следовательно, точка $O$ также лежит внутри или на границе треугольника $ABC$.

Прямая $AA_1$ состоит из отрезка $AA_1$ и двух лучей, продолжающих его в обе стороны. Части прямой $AA_1$, не принадлежащие отрезку $AA_1$, находятся вне треугольника $ABC$. Поскольку точка $O$ лежит на прямой $AA_1$ и одновременно находится внутри или на границе треугольника $ABC$, она обязана принадлежать отрезку $AA_1$.

Таким образом, точка $O$ является общей точкой для отрезков $AA_1$ и $BB_1$, что и доказывает их пересечение.

Случай 2: Хотя бы одна из точек, $A_1$ или $B_1$, совпадает с вершиной треугольника.

В этих граничных случаях утверждение становится очевидным, так как один из отрезков становится стороной треугольника, а второй соединяет вершину с точкой на этой стороне (или смежной с ней).

- Если $A_1$ совпадает с $C$, то отрезок $AA_1$ является стороной $AC$. Точка $B_1$ по условию лежит на стороне $AC$. Тогда отрезок $BB_1$ пересекает отрезок $AC$ (т.е. $AA_1$) в точке $B_1$.

- Если $A_1$ совпадает с $B$, то отрезок $AA_1$ является стороной $AB$. Отрезок $BB_1$ имеет общую точку $B$ с отрезком $AB$, следовательно, они пересекаются в точке $B$.

- Если $B_1$ совпадает с $A$, то отрезок $BB_1$ является стороной $BA$. Отрезок $AA_1$ имеет общую точку $A$ с отрезком $BA$, следовательно, они пересекаются в точке $A$.

- Если $B_1$ совпадает с $C$, то отрезок $BB_1$ является стороной $BC$. Точка $A_1$ по условию лежит на стороне $BC$. Тогда отрезок $AA_1$ пересекает отрезок $BC$ (т.е. $BB_1$) в точке $A_1$.

Во всех этих вариантах отрезки $AA_1$ и $BB_1$ имеют общую точку, то есть пересекаются.

Объединяя результаты обоих случаев, мы приходим к выводу, что отрезки $AA_1$ и $BB_1$ всегда пересекаются.

Ответ: Что и требовалось доказать.