Номер 1.55, страница 24 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.55. Прямая $a$ параллельна стороне $AB$ треугольника $ABC$. Докажите, что прямые $BC$ и $AC$ пересекают прямую $a$.

Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом от противного. Разделим доказательство на две части, по одной для каждой прямой.

Докажем, что прямая BC пересекает прямую a

Предположим обратное: прямая BC не пересекает прямую a. В геометрии на плоскости это означает, что данные прямые параллельны, то есть $BC \parallel a$.

По условию задачи, прямая a параллельна стороне AB треугольника ABC, то есть $a \parallel AB$.

Таким образом, мы имеем, что прямая BC параллельна прямой a ($BC \parallel a$), и прямая AB также параллельна прямой a ($AB \parallel a$).

Согласно аксиоме параллельных прямых (V постулат Евклида), через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следствием из этой аксиомы является свойство транзитивности: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой. Из $BC \parallel a$ и $AB \parallel a$ следует, что $BC \parallel AB$.

Однако это заключение противоречит тому факту, что ABC — это треугольник. Стороны BC и AB имеют общую вершину B, то есть пересекаются в этой точке. Пересекающиеся прямые по определению не могут быть параллельными. Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным.

Ответ: Прямая BC пересекает прямую a.

Докажем, что прямая AC пересекает прямую a

Доказательство для прямой AC полностью аналогично предыдущему.

Предположим обратное: прямая AC не пересекает прямую a. Это значит, что $AC \parallel a$.

По условию мы знаем, что $a \parallel AB$.

По свойству транзитивности параллельных прямых, из $AC \parallel a$ и $a \parallel AB$ следует, что $AC \parallel AB$.

Данный вывод вступает в противоречие с тем, что AC и AB являются сторонами треугольника ABC и пересекаются в общей вершине A. Следовательно, они не могут быть параллельны.

Таким образом, наше предположение было ложным.

Ответ: Прямая AC пересекает прямую a.