Номер 1.61, страница 25 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.61. $\triangle ABC = \triangle B_1 A_1 C_1$, причем $\angle B_1 = 15^\circ$, $B_1 C_1 = 5$ м.

1) Найдите $AC$ и угол $A_1$.

2) Может ли периметр треугольника $B_1 A_1 C_1$ быть больше, чем $2A_1 B_1 + AC$, если в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна стороне $BC$?

1)

По условию задачи даны два равных треугольника: $ \triangle ABC = \triangle B_1A_1C_1 $. Равенство треугольников означает, что их соответствующие углы и стороны равны. Причем соответствие вершин определяется порядком их записи в равенстве.

Таким образом, из равенства $ \triangle ABC = \triangle B_1A_1C_1 $ следует, что вершине $A$ соответствует вершина $B_1$, вершине $B$ — вершина $A_1$, а вершине $C$ — вершина $C_1$. Отсюда вытекают следующие равенства соответствующих сторон и углов:

$AC = B_1C_1$

$AB = B_1A_1$

$BC = A_1C_1$

$\angle A = \angle B_1$

$\angle B = \angle A_1$

$\angle C = \angle C_1$

В условии даны значения для треугольника $B_1A_1C_1$: $B_1C_1 = 5$ м и $\angle B_1 = 15^\circ$.

Используя приведенные выше равенства, находим искомые величины:

Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна соответствующей ей стороне $B_1C_1$ треугольника $B_1A_1C_1$:

$AC = B_1C_1 = 5$ м.

Угол $A$ треугольника $ABC$ равен соответствующему ему углу $B_1$ треугольника $B_1A_1C_1$:

$\angle A = \angle B_1 = 15^\circ$.

Ответ: $AC = 5$ м, $ \angle A = 15^\circ $.

2)

Необходимо выяснить, может ли периметр треугольника $B_1A_1C_1$ быть больше, чем выражение $2A_1B_1 + AC$. Запишем это предположение в виде неравенства:

$P_{B_1A_1C_1} > 2A_1B_1 + AC$

Периметр треугольника $B_1A_1C_1$ равен сумме длин его сторон:

$P_{B_1A_1C_1} = A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1$

Подставим выражение для периметра в неравенство:

$A_1B_1 + B_1C_1 + A_1C_1 > 2A_1B_1 + AC$

Из равенства треугольников $ \triangle ABC = \triangle B_1A_1C_1 $, установленного в первом пункте, мы знаем, что:

$A_1B_1 = AB$

$A_1C_1 = BC$

$B_1C_1 = AC$

Заменим стороны треугольника $B_1A_1C_1$ и сторону $AC$ на соответствующие им равные стороны треугольника $ABC$ в нашем неравенстве:

$AB + AC + BC > 2AB + AC$

Теперь упростим полученное неравенство. Вычтем из обеих частей $AC$:

$AB + BC > 2AB$

Далее вычтем из обеих частей $AB$:

$BC > AB$

Таким образом, исходное неравенство справедливо тогда и только тогда, когда сторона $BC$ больше стороны $AB$.

Однако по дополнительному условию этого пункта в треугольнике $ABC$ сторона $AB$ равна стороне $BC$, то есть $AB = BC$.

Подставив это условие в полученное нами неравенство $BC > AB$, мы придем к противоречию:

$AB > AB$

Это неравенство является ложным при любом положительном значении $AB$. Следовательно, и исходное предположение о том, что периметр треугольника $B_1A_1C_1$ может быть больше, чем $2A_1B_1 + AC$, также ложно при заданном условии.

Ответ: Нет, не может.