Вопросы, страница 28 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие углы называются смежными?

2. Докажите, что сумма смежных углов равна $180^\circ$.

3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

4. Какой угол называется прямым, острым, тупым?

5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

6. Какие углы называются вертикальными?

7. Докажите, что вертикальные углы равны.

8. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой символ используется для обозначения перпендикулярности прямых? ($\perp$)

9. Какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой?

10. Дайте определение биссектрисы угла.

1. Какие углы называются смежными?

Смежными называются два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга (то есть лежат на одной прямой). Такие углы вместе образуют развернутый угол.

Ответ: Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются дополнительными полупрямыми, называются смежными.

2. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°.

Пусть даны два смежных угла, $\angle AOC$ и $\angle COB$. У них общая вершина $O$ и общая сторона $OC$. Стороны $OA$ и $OB$ являются дополнительными полупрямыми, то есть лежат на одной прямой $AB$. Угол $\angle AOB$ является развернутым, и его градусная мера равна $180^\circ$.

Луч $OC$ проходит между сторонами развернутого угла $\angle AOB$ и делит его на два угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$. По аксиоме измерения углов, если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Следовательно, $\angle AOC + \angle COB = \angle AOB$.

Так как $\angle AOB = 180^\circ$, то $\angle AOC + \angle COB = 180^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Сумма смежных углов равна $180^\circ$, так как вместе они образуют развернутый угол.

3. Докажите, что если два угла равны, то смежные с ними углы также равны.

Пусть $\angle 1$ и $\angle 2$ – два равных угла, то есть $\angle 1 = \angle 2$.

Пусть $\angle 3$ – угол, смежный с $\angle 1$.

Пусть $\angle 4$ – угол, смежный с $\angle 2$.

По свойству смежных углов (доказанному в пункте 2), мы знаем, что:

$\angle 1 + \angle 3 = 180^\circ$

$\angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$

Из первого уравнения выразим $\angle 3$: $\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$.

Из второго уравнения выразим $\angle 4$: $\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$.

Так как по условию $\angle 1 = \angle 2$, то правые части этих выражений равны. Следовательно, равны и левые части: $\angle 3 = \angle 4$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если $\angle 1 = \angle 2$, то смежные с ними углы $\angle 3 = 180^\circ - \angle 1$ и $\angle 4 = 180^\circ - \angle 2$ также равны, так как $180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - \angle 2$.

4. Какой угол называется прямым, острым, тупым?

Различают следующие виды углов в зависимости от их градусной меры:

- Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.

- Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$ (но больше $0^\circ$).

- Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Ответ: Прямой угол равен $90^\circ$, острый — меньше $90^\circ$, тупой — больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$.

5. Докажите, что угол, смежный с прямым, есть прямой угол.

Пусть $\angle 1$ — прямой угол, то есть его мера составляет $\angle 1 = 90^\circ$.

Пусть $\angle 2$ — угол, смежный с $\angle 1$.

По свойству смежных углов, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Подставим известное значение $\angle 1$ в уравнение:

$90^\circ + \angle 2 = 180^\circ$

Найдем $\angle 2$:

$\angle 2 = 180^\circ - 90^\circ$

$\angle 2 = 90^\circ$

Так как градусная мера угла $\angle 2$ равна $90^\circ$, то по определению он является прямым углом.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Если один из смежных углов равен $90^\circ$, то второй равен $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$, то есть он также является прямым.

6. Какие углы называются вертикальными?

Вертикальными называются два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями (дополнительными полупрямыми) сторон другого. Они образуются при пересечении двух прямых и расположены друг напротив друга.

Ответ: Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными полупрямыми к сторонам другого.

7. Докажите, что вертикальные углы равны.

Пусть при пересечении двух прямых образовались четыре угла: $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$. Пары вертикальных углов — это $(\angle 1, \angle 3)$ и $(\angle 2, \angle 4)$.

Рассмотрим пару углов $\angle 1$ и $\angle 2$. Они являются смежными, следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$

Теперь рассмотрим пару углов $\angle 2$ и $\angle 3$. Они также являются смежными, следовательно, их сумма равна $180^\circ$:

$\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Мы получили два выражения, равные $180^\circ$. Приравняем их левые части:

$\angle 1 + \angle 2 = \angle 2 + \angle 3$

Вычтем из обеих частей равенства $\angle 2$:

$\angle 1 = \angle 3$

Аналогично, рассматривая пары смежных углов $(\angle 1, \angle 4)$ и $(\angle 3, \angle 4)$, можно доказать, что $\angle 2 = \angle 4$.

Таким образом, вертикальные углы равны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Вертикальные углы равны, так как каждый из них дополняет один и тот же смежный угол до $180^\circ$.

8. Какие прямые называются перпендикулярными? Какой символ используется для обозначения перпендикулярности прямых?

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла (по $90^\circ$). Достаточно, чтобы один из углов при их пересечении был прямым, тогда остальные три также будут прямыми (как смежные и вертикальные ему).

Для обозначения перпендикулярности прямых используется символ $\perp$. Например, если прямая $a$ перпендикулярна прямой $b$, это записывается как $a \perp b$.

Ответ: Перпендикулярными называются две прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$). Для их обозначения используется символ $\perp$.

9. Какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой?

Перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой, называется отрезок, соединяющий эту точку с точкой на прямой и лежащий на прямой, перпендикулярной данной. Конец этого отрезка, лежащий на прямой, называется основанием перпендикуляра.

Ответ: Перпендикуляром, проведенным из точки к прямой, называется отрезок, соединяющий эту точку с точкой на прямой и лежащий на прямой, перпендикулярной данной.

10. Дайте определение биссектрисы угла.

Биссектрисой угла называется луч, который исходит из вершины угла, проходит между его сторонами и делит угол на два равных по величине угла.

Ответ: Биссектриса угла — это луч с началом в вершине угла, делящий этот угол на два равных угла.