Номер 1.70, страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.70. Найдите смежные углы, если:

1) один из них на $30^{\circ}$ больше другого;

2) их разность равна $40^{\circ}$;

3) один из них в 3 раза меньше другого;

4) они равны.

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Обозначим искомые смежные углы как $\alpha$ и $\beta$. Тогда их основное свойство можно записать в виде формулы: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

1) один из них на 30° больше другого

Пусть угол $\alpha$ на $30^\circ$ больше угла $\beta$. Тогда мы имеем систему уравнений:

1) $\alpha = \beta + 30^\circ$

2) $\alpha + \beta = 180^\circ$

Подставим выражение для $\alpha$ из первого уравнения во второе:

$(\beta + 30^\circ) + \beta = 180^\circ$

$2\beta + 30^\circ = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 30^\circ$

$2\beta = 150^\circ$

$\beta = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$

Теперь найдем второй угол $\alpha$:

$\alpha = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$

Проверим: $105^\circ + 75^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $75^\circ$ и $105^\circ$.

2) их разность равна 40°

Пусть $\alpha$ и $\beta$ – искомые углы. По условию, их разность равна $40^\circ$. Составим систему уравнений:

1) $\alpha - \beta = 40^\circ$

2) $\alpha + \beta = 180^\circ$

Сложим эти два уравнения:

$(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta) = 40^\circ + 180^\circ$

$2\alpha = 220^\circ$

$\alpha = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Теперь подставим найденное значение $\alpha$ во второе уравнение, чтобы найти $\beta$:

$110^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Проверим: $110^\circ + 70^\circ = 180^\circ$ и $110^\circ - 70^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $70^\circ$ и $110^\circ$.

3) один из них в 3 раза меньше другого

Пусть угол $\alpha$ в 3 раза больше угла $\beta$. Это можно записать как $\alpha = 3\beta$. Составим систему уравнений:

1) $\alpha = 3\beta$

2) $\alpha + \beta = 180^\circ$

Подставим первое уравнение во второе:

$3\beta + \beta = 180^\circ$

$4\beta = 180^\circ$

$\beta = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

Теперь найдем второй угол $\alpha$:

$\alpha = 3 \times 45^\circ = 135^\circ$

Проверим: $135^\circ + 45^\circ = 180^\circ$ и $135^\circ = 3 \times 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$ и $135^\circ$.

4) они равны

По условию, углы равны, то есть $\alpha = \beta$. Составим систему уравнений:

1) $\alpha = \beta$

2) $\alpha + \beta = 180^\circ$

Подставим первое уравнение во второе:

$\alpha + \alpha = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Поскольку $\alpha = \beta$, то $\beta$ также равен $90^\circ$. Каждый из смежных углов является прямым.

Проверим: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $90^\circ$ и $90^\circ$.