Страница 29 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПЗ 1. Начертите три угла: острый, прямой и тупой. Для каждого из них начертите смежный угол.

2. Начертите угол, равный $70^\circ$, и с помощью транспортира проведите его биссектрису.

3. Из точки A вне прямой a, не параллельной к линиям тетради в клетку, на глаз опустите перпендикуляр. Результат проверьте с помощью транспортира.

1. Для решения этой задачи необходимо понимать определения видов углов и смежных углов.

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$.

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна $90^\circ$.

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$, но меньше $180^\circ$.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой (образуют прямую линию). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Построение:

• Острый угол и смежный с ним:

  1. Начертим острый угол, например, $\angle AOB = 45^\circ$.

  2. Продлим один из его лучей, например, луч $AO$ за вершину $O$. Получим прямую $AC$.

  3. Угол $\angle BOC$ является смежным с углом $\angle AOB$. Его величина равна $180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Смежный угол для острого всегда является тупым.

• Прямой угол и смежный с ним:

  1. Начертим прямой угол $\angle DOE = 90^\circ$.

  2. Продлим один из его лучей, например, $DO$, за вершину $O$. Получим прямую $DF$.

  3. Угол $\angle EOF$ является смежным с углом $\angle DOE$. Его величина равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Смежный угол для прямого также является прямым.

• Тупой угол и смежный с ним:

  1. Начертим тупой угол, например, $\angle GKH = 120^\circ$.

  2. Продлим один из его лучей, например, $GK$, за вершину $K$. Получим прямую $GI$.

  3. Угол $\angle HKI$ является смежным с углом $\angle GKH$. Его величина равна $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Смежный угол для тупого всегда является острым.

Ответ: Для построения смежного угла к заданному нужно продлить одну из его сторон за вершину; получившийся угол, дополняющий исходный до $180^\circ$, и будет смежным.

2. Для выполнения этого задания понадобится линейка и транспортир.

Шаг 1: Построение угла в $70^\circ$.

1. С помощью линейки проведите произвольный луч с началом в точке $O$. Это будет одна сторона угла.
2. Приложите транспортир так, чтобы его центр совпал с точкой $O$, а нулевая отметка на его шкале (основание) легла на построенный луч.
3. Найдите на шкале транспортира отметку $70^\circ$ и поставьте в этом месте точку (назовем ее $A$).
4. С помощью линейки соедините точку $O$ и точку $A$. Полученный угол $\angle AOB$ (где $B$ - точка на первом луче) будет равен $70^\circ$.

Шаг 2: Проведение биссектрисы.

Биссектриса — это луч, который выходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Чтобы найти угол, который образует биссектриса с каждой из сторон, нужно разделить исходный угол пополам: $70^\circ / 2 = 35^\circ$.

1. Не убирая транспортир (или приложив его снова, как в шаге 1), найдите на его шкале отметку $35^\circ$.
2. Поставьте в этом месте точку (назовем ее $C$).
3. Проведите луч $OC$ из вершины $O$ через точку $C$.

Луч $OC$ является биссектрисой угла $\angle AOB$. Он делит исходный угол на два равных угла: $\angle AOC = \angle COB = 35^\circ$.

Ответ: Биссектриса делит угол $70^\circ$ на два угла по $35^\circ$. Она проводится с помощью транспортира путем откладывания угла в $35^\circ$ от одной из сторон исходного угла.

3. Это задание на глазомер и его проверку с помощью измерительного инструмента.

Шаг 1: Построение "на глаз".

1. На листе бумаги в клетку начертите прямую линию $a$ так, чтобы она не была параллельна или перпендикулярна линиям сетки (то есть шла наискосок).
2. Отметьте точку $A$ в стороне от прямой $a$.
3. Не используя инструменты (кроме карандаша), проведите из точки $A$ отрезок к прямой $a$ так, чтобы он, по вашему мнению, был перпендикулярен прямой $a$. Обозначьте точку пересечения отрезка с прямой как $H$. Отрезок $AH$ — это перпендикуляр, опущенный "на глаз".

Шаг 2: Проверка с помощью транспортира.

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом ($90^\circ$).

1. Возьмите транспортир.
2. Совместите центр транспортира с точкой пересечения $H$.
3. Выровняйте основание (нулевую линию) транспортира по прямой $a$.
4. Посмотрите, на какой отметке шкалы транспортира находится отрезок $AH$.

Если отметка показывает ровно $90^\circ$, то ваш глазомер был точен, и вы правильно опустили перпендикуляр. Если значение отличается от $90^\circ$ (например, $88^\circ$ или $93^\circ$), это показывает погрешность вашего глазомера.

Ответ: Чтобы проверить, является ли отрезок $AH$ перпендикуляром к прямой $a$, нужно с помощью транспортира измерить угол между ними. Если угол равен $90^\circ$, результат верен.

1.67. Найдите углы, смежные с углами $30^{\circ}$, $45^{\circ}$, $60^{\circ}$, $90^{\circ}$.

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна 180°.

Пусть дан угол $\alpha$. Угол $\beta$, смежный с ним, можно найти по формуле:

$\beta = 180^{\circ} - \alpha$

Вычислим смежные углы для каждого из заданных значений.

30°

Найдем угол, смежный с углом в 30°. Для этого вычтем 30° из 180°.

$180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$

Ответ: 150°

45°

Найдем угол, смежный с углом в 45°. Для этого вычтем 45° из 180°.

$180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$

Ответ: 135°

60°

Найдем угол, смежный с углом в 60°. Для этого вычтем 60° из 180°.

$180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$

Ответ: 120°

90°

Найдем угол, смежный с углом в 90°. Для этого вычтем 90° из 180°.

$180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$

Ответ: 90°

1.68. Могут ли смежные углы быть оба:

1) острыми;

2) тупыми;

3) прямыми?

Обоснуйте ответ.

Для решения этой задачи воспользуемся определением и свойством смежных углов. Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, образуя прямую линию. Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$. Пусть у нас есть два смежных угла, $ \alpha $ и $ \beta $. Тогда их сумма $ \alpha + \beta = 180^\circ $.

1) острыми

Острый угол — это угол, градусная мера которого меньше $90^\circ$. Предположим, что оба смежных угла, $ \alpha $ и $ \beta $, являются острыми. Это означает, что $ \alpha < 90^\circ $ и $ \beta < 90^\circ $. Если сложить эти два неравенства, получим их сумму: $ \alpha + \beta < 90^\circ + 90^\circ $, то есть $ \alpha + \beta < 180^\circ $. Это противоречит свойству смежных углов, согласно которому их сумма должна быть ровно $180^\circ$. Следовательно, два смежных угла не могут быть оба острыми.

Ответ: нет.

2) тупыми

Тупой угол — это угол, градусная мера которого больше $90^\circ$. Предположим, что оба смежных угла, $ \alpha $ и $ \beta $, являются тупыми. Это означает, что $ \alpha > 90^\circ $ и $ \beta > 90^\circ $. Если сложить эти два неравенства, получим их сумму: $ \alpha + \beta > 90^\circ + 90^\circ $, то есть $ \alpha + \beta > 180^\circ $. Это также противоречит свойству смежных углов, по которому их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, два смежных угла не могут быть оба тупыми.

Ответ: нет.

3) прямыми

Прямой угол — это угол, градусная мера которого равна ровно $90^\circ$. Предположим, что оба смежных угла, $ \alpha $ и $ \beta $, являются прямыми. Это означает, что $ \alpha = 90^\circ $ и $ \beta = 90^\circ $. Найдем их сумму: $ \alpha + \beta = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ $. Это равенство полностью соответствует свойству смежных углов. Такая ситуация возникает, когда общая сторона углов является лучом, перпендикулярным прямой, на которой лежат две другие стороны. Следовательно, два смежных угла могут быть оба прямыми.

Ответ: да.

1.69. Найдите смежные углы, если один из них в 2 раза больше другого.

Смежные углы — это два угла, которые имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга (образуют прямую линию). Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$.

Обозначим меньший из двух смежных углов как $x$. Согласно условию задачи, второй угол в 2 раза больше первого. Следовательно, его величина равна $2x$.

Зная, что сумма смежных углов составляет $180^\circ$, мы можем составить уравнение:

$x + 2x = 180^\circ$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$3x = 180^\circ$

$x = \frac{180^\circ}{3}$

$x = 60^\circ$

Итак, мы нашли величину меньшего угла, она составляет $60^\circ$.

Теперь найдем величину большего угла, умножив меньший угол на 2:

$2x = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$

Таким образом, искомые смежные углы равны $60^\circ$ и $120^\circ$.

Ответ: 60° и 120°.

1.70. Найдите смежные углы, если:

1) один из них на $30^{\circ}$ больше другого;

2) их разность равна $40^{\circ}$;

3) один из них в 3 раза меньше другого;

4) они равны.

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$. Обозначим искомые смежные углы как $\alpha$ и $\beta$. Тогда их основное свойство можно записать в виде формулы: $\alpha + \beta = 180^\circ$.

1) один из них на 30° больше другого

Пусть угол $\alpha$ на $30^\circ$ больше угла $\beta$. Тогда мы имеем систему уравнений:

1) $\alpha = \beta + 30^\circ$

2) $\alpha + \beta = 180^\circ$

Подставим выражение для $\alpha$ из первого уравнения во второе:

$(\beta + 30^\circ) + \beta = 180^\circ$

$2\beta + 30^\circ = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ - 30^\circ$

$2\beta = 150^\circ$

$\beta = \frac{150^\circ}{2} = 75^\circ$

Теперь найдем второй угол $\alpha$:

$\alpha = 75^\circ + 30^\circ = 105^\circ$

Проверим: $105^\circ + 75^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $75^\circ$ и $105^\circ$.

2) их разность равна 40°

Пусть $\alpha$ и $\beta$ – искомые углы. По условию, их разность равна $40^\circ$. Составим систему уравнений:

1) $\alpha - \beta = 40^\circ$

2) $\alpha + \beta = 180^\circ$

Сложим эти два уравнения:

$(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta) = 40^\circ + 180^\circ$

$2\alpha = 220^\circ$

$\alpha = \frac{220^\circ}{2} = 110^\circ$

Теперь подставим найденное значение $\alpha$ во второе уравнение, чтобы найти $\beta$:

$110^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Проверим: $110^\circ + 70^\circ = 180^\circ$ и $110^\circ - 70^\circ = 40^\circ$.

Ответ: $70^\circ$ и $110^\circ$.

3) один из них в 3 раза меньше другого

Пусть угол $\alpha$ в 3 раза больше угла $\beta$. Это можно записать как $\alpha = 3\beta$. Составим систему уравнений:

1) $\alpha = 3\beta$

2) $\alpha + \beta = 180^\circ$

Подставим первое уравнение во второе:

$3\beta + \beta = 180^\circ$

$4\beta = 180^\circ$

$\beta = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$

Теперь найдем второй угол $\alpha$:

$\alpha = 3 \times 45^\circ = 135^\circ$

Проверим: $135^\circ + 45^\circ = 180^\circ$ и $135^\circ = 3 \times 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$ и $135^\circ$.

4) они равны

По условию, углы равны, то есть $\alpha = \beta$. Составим систему уравнений:

1) $\alpha = \beta$

2) $\alpha + \beta = 180^\circ$

Подставим первое уравнение во второе:

$\alpha + \alpha = 180^\circ$

$2\alpha = 180^\circ$

$\alpha = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$

Поскольку $\alpha = \beta$, то $\beta$ также равен $90^\circ$. Каждый из смежных углов является прямым.

Проверим: $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Ответ: $90^\circ$ и $90^\circ$.

1.71. Найдите угол, смежный с углом ABC, если:

1) $\angle ABC = 111^{\circ}$;

2) $\angle ABC = 90^{\circ}$;

3) $\angle ABC = 15^{\circ}$.

По определению, смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой (образуют прямую). Сумма смежных углов всегда равна $180^{\circ}$.

Чтобы найти угол, смежный с данным углом $\angle ABC$, необходимо вычесть величину этого угла из $180^{\circ}$. Обозначим искомый угол как $\beta$.

$\beta = 180^{\circ} - \angle ABC$

1) Если $\angle ABC = 111^{\circ}$, то смежный с ним угол равен:

$180^{\circ} - 111^{\circ} = 69^{\circ}$

Ответ: 69°.

2) Если $\angle ABC = 90^{\circ}$, то смежный с ним угол равен:

$180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$

Ответ: 90°.

3) Если $\angle ABC = 15^{\circ}$, то смежный с ним угол равен:

$180^{\circ} - 15^{\circ} = 165^{\circ}$

Ответ: 165°.

1.72. На рисунке 1.43 изображены три прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите сумму углов: $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3$.

Рис. 1.43

Для нахождения суммы углов $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3$ воспользуемся свойствами смежных и вертикальных углов.

Рассмотрим прямую, которая на рисунке проходит почти горизонтально. Углы, расположенные по одну сторону от этой прямой и имеющие общую вершину в точке O, в сумме образуют развернутый угол, равный $180^\circ$.

Этими углами являются $\angle 1$, $\angle 2$ и угол, который является вертикальным к $\angle 3$. Обозначим угол, вертикальный к $\angle 3$, как $\angle 4$. Таким образом, сумма этих трех углов равна $180^\circ$:

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 4 = 180^\circ$

Согласно свойству вертикальных углов, углы, образованные при пересечении двух прямых и расположенные друг напротив друга, равны. Углы $\angle 3$ и $\angle 4$ являются вертикальными. Следовательно:

$\angle 3 = \angle 4$

Теперь в первом равенстве мы можем заменить $\angle 4$ на равный ему $\angle 3$:

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$

Ответ: $180^\circ$.

1.73. На рисунке 1.44 $\angle AOB = 50^{\circ}$, $\angle FOE=70^{\circ}$. Найдите углы AOC, BOD, COE и COD.

Рис. 1.44

Для решения задачи воспользуемся свойствами вертикальных и смежных углов. На рисунке три прямые (AD, BE, CF) пересекаются в точке O. Дано: $\angle AOB = 50^\circ$ и $\angle FOE = 70^\circ$.

Сначала найдем углы, которые являются вертикальными к данным. Вертикальные углы равны.

Угол $\angle BOC$ вертикален углу $\angle FOE$, следовательно: $\angle BOC = \angle FOE = 70^\circ$.

Угол $\angle DOE$ вертикален углу $\angle AOB$, следовательно: $\angle DOE = \angle AOB = 50^\circ$.

Теперь рассмотрим прямую AD. Угол $\angle AOD$ является развернутым, то есть равен $180^\circ$, так как точки A, O, D лежат на одной прямой. Он состоит из суммы трех углов: $\angle AOB$, $\angle BOC$ и $\angle COD$.

$\angle AOB + \angle BOC + \angle COD = 180^\circ$

Подставим известные значения:

$50^\circ + 70^\circ + \angle COD = 180^\circ$

$120^\circ + \angle COD = 180^\circ$

$\angle COD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь, зная все основные углы вокруг точки O, мы можем найти искомые углы.

AOC

Угол $\angle AOC$ является суммой углов $\angle AOB$ и $\angle BOC$.

$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 50^\circ + 70^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $\angle AOC = 120^\circ$.

BOD

Угол $\angle BOD$ является суммой углов $\angle BOC$ и $\angle COD$.

$\angle BOD = \angle BOC + \angle COD = 70^\circ + 60^\circ = 130^\circ$.

Ответ: $\angle BOD = 130^\circ$.

COE

Угол $\angle COE$ является суммой углов $\angle COD$ и $\angle DOE$.

$\angle COE = \angle COD + \angle DOE = 60^\circ + 50^\circ = 110^\circ$.

В качестве проверки можно использовать тот факт, что угол $\angle BOE$ является развернутым ($180^\circ$), так как точки B, O, E лежат на одной прямой. Углы $\angle BOC$ и $\angle COE$ — смежные. Отсюда $\angle COE = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ$. Результаты совпадают.

Ответ: $\angle COE = 110^\circ$.

COD

Этот угол уже был найден в предварительных вычислениях при рассмотрении развернутого угла $\angle AOD$.

$\angle COD = 60^\circ$.

Ответ: $\angle COD = 60^\circ$.

1.74. Докажите, что если при пересечении двух прямых один из углов прямой, то остальные три угла – тоже прямые.

Пусть две прямые пересекаются и образуют четыре угла. Обозначим их последовательно $\angle 1$, $\angle 2$, $\angle 3$ и $\angle 4$. В этом случае углы $\angle 1$ и $\angle 3$ являются вертикальными, так же как и углы $\angle 2$ и $\angle 4$. Пары соседних углов (например, $\angle 1$ и $\angle 2$) являются смежными.

По условию задачи, один из углов — прямой, то есть его мера равна $90^\circ$. Пусть $\angle 1 = 90^\circ$.

Рассмотрим угол $\angle 2$, который является смежным с углом $\angle 1$. Сумма смежных углов всегда равна $180^\circ$, поэтому $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Отсюда мы можем найти величину угла $\angle 2$:$\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.Таким образом, угол $\angle 2$ также является прямым.

Рассмотрим угол $\angle 3$, который является вертикальным к углу $\angle 1$. По свойству вертикальных углов, они равны. Следовательно, $\angle 3 = \angle 1 = 90^\circ$.Таким образом, угол $\angle 3$ также является прямым.

Рассмотрим угол $\angle 4$, который является вертикальным к углу $\angle 2$. Так как мы уже установили, что $\angle 2 = 90^\circ$, то и $\angle 4 = \angle 2 = 90^\circ$.Таким образом, угол $\angle 4$ также является прямым.

В результате мы доказали, что если один из углов, образовавшихся при пересечении двух прямых, является прямым, то и все остальные три угла также являются прямыми. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Если один из углов при пересечении двух прямых равен $90^\circ$, то смежный с ним угол также равен $90^\circ$ (поскольку их сумма составляет $180^\circ$, то есть $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$). Вертикальный исходному угол равен ему по свойству вертикальных углов, то есть тоже $90^\circ$. Четвертый угол, будучи вертикальным второму (смежному), также равен $90^\circ$. Следовательно, все четыре угла являются прямыми.

1.75. На рисунке 1.45 луч OV является биссектрисой угла ZOY, а луч OU – биссектрисой угла XOY. Найдите угол XOZ, если $\angle UOV = 80^\circ$.

Рис. 1.45

По условию задачи, луч OV является биссектрисой угла ZOY. Биссектриса делит угол на два равных угла, следовательно:

$\angle ZOV = \angle VOY$

Отсюда можно выразить весь угол ZOY через его половину:

$\angle ZOY = 2 \cdot \angle VOY$

Аналогично, луч OU является биссектрисой угла XOY. Следовательно:

$\angle XOU = \angle UOY$

И весь угол XOY можно выразить как:

$\angle XOY = 2 \cdot \angle UOY$

Угол XOZ, который нам нужно найти, состоит из суммы углов XOY и ZOY:

$\angle XOZ = \angle XOY + \angle ZOY$

Подставим в это равенство выражения для углов XOY и ZOY, которые мы получили выше:

$\angle XOZ = (2 \cdot \angle UOY) + (2 \cdot \angle VOY)$

Вынесем общий множитель 2 за скобки:

$\angle XOZ = 2 \cdot (\angle UOY + \angle VOY)$

Из рисунка видно, что сумма углов $\angle UOY$ и $\angle VOY$ образует угол UOV:

$\angle UOV = \angle UOY + \angle VOY$

По условию задачи, $\angle UOV = 80^\circ$.

Теперь подставим это значение в нашу формулу для угла XOZ:

$\angle XOZ = 2 \cdot \angle UOV = 2 \cdot 80^\circ = 160^\circ$

Ответ: $160^\circ$.

1.76. Луч $p$ является биссектрисой неразвернутого угла $(ab)$. Может ли угол $(ap)$ быть прямым; тупым?

По условию задачи, луч $p$ является биссектрисой неразвернутого угла $(ab)$. Разберем, что это означает и какие выводы из этого следуют.

1. Неразвернутый угол — это угол, градусная мера которого строго меньше $180^\circ$ и больше $0^\circ$. Обозначим величину угла $(ab)$ как $\alpha$. Таким образом, мы имеем неравенство: $0^\circ < \alpha < 180^\circ$.

2. Биссектриса угла — это луч, который исходит из вершины угла и делит его на два равных угла. Так как луч $p$ является биссектрисой угла $(ab)$, он делит его на два равных угла: $\angle(ap)$ и $\angle(pb)$.

Следовательно, величина угла $(ap)$ равна половине величины исходного угла $(ab)$:

$\angle(ap) = \frac{1}{2} \angle(ab) = \frac{\alpha}{2}$

Теперь, зная диапазон для $\alpha$, мы можем найти диапазон возможных значений для угла $(ap)$. Для этого разделим все части неравенства $0^\circ < \alpha < 180^\circ$ на 2:

$\frac{0^\circ}{2} < \frac{\alpha}{2} < \frac{180^\circ}{2}$

Получаем:

$0^\circ < \angle(ap) < 90^\circ$

Это неравенство показывает, что угол $(ap)$ всегда является острым углом (угол, который больше $0^\circ$ и меньше $90^\circ$). Исходя из этого, ответим на вопросы задачи.

Может ли угол (ap) быть прямым?

Прямой угол имеет градусную меру ровно $90^\circ$. Если бы мы предположили, что угол $(ap)$ является прямым, то $\angle(ap) = 90^\circ$.

В таком случае, исходный угол $(ab)$ был бы равен:

$\angle(ab) = 2 \cdot \angle(ap) = 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$

Угол, равный $180^\circ$, называется развернутым. Однако, по условию задачи, угол $(ab)$ является неразвернутым. Возникает противоречие. Следовательно, угол $(ap)$ не может быть прямым.

Ответ: нет.

Может ли угол (ap) быть тупым?

Тупой угол имеет градусную меру больше $90^\circ$ и меньше $180^\circ$. Если бы мы предположили, что угол $(ap)$ является тупым, то $\angle(ap) > 90^\circ$.

В таком случае, исходный угол $(ab)$ был бы равен:

$\angle(ab) = 2 \cdot \angle(ap) > 2 \cdot 90^\circ = 180^\circ$

Это означало бы, что величина угла $(ab)$ превышает $180^\circ$, что противоречит условию о том, что угол $(ab)$ является неразвернутым (т.е. его величина меньше $180^\circ$). Следовательно, угол $(ap)$ не может быть тупым.

Ответ: нет.