Страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

ПЗ 1. Назовите несколько практических способов построения параллельных прямых.

2. Постройте на глаз два равных треугольника. Проверьте точность построения измерительными инструментами.

3. Назовите несколько примеров параллельных прямых или отрезков, взятых из окружающей вас среды.

1. Назовите несколько практических способов построения параллельных прямых.

Существует несколько практических способов построения параллельных прямых с использованием стандартных чертежных инструментов. Вот наиболее популярные из них:

• С помощью линейки и угольника (прямоугольного треугольника). Это один из самых быстрых и распространенных методов, которому обучают в школе.
  1. Проведите на плоскости произвольную прямую a.
  2. Приложите один из катетов (коротких сторон) угольника к этой прямой.
  3. К другому катету угольника плотно приложите линейку.
  4. Надежно зафиксируйте линейку в неподвижном положении, а угольник начните двигать вдоль нее.
  5. В новом положении угольника проведите прямую b вдоль того же катета, который вначале был приложен к прямой a. Полученная прямая b будет параллельна прямой a.
• С помощью циркуля и линейки (без делений). Это классический метод геометрических построений, основанный на аксиомах геометрии. Он позволяет построить прямую, параллельную данной и проходящую через заданную точку.
  1. Пусть дана прямая a и точка P, не лежащая на этой прямой.
  2. Проведите через точку P произвольную прямую (секущую), которая пересекает прямую a в точке Q.
  3. С центром в точке Q произвольным радиусом проведите дугу так, чтобы она пересекла прямую a (в точке M) и секущую PQ (в точке N).
  4. Не меняя раствора циркуля, с центром в точке P проведите такую же дугу так, чтобы она пересекла секущую PQ (в точке K) с той же стороны, что и точка M относительно секущей.
  5. Измерьте циркулем расстояние между точками M и N.
  6. С центром в точке K отложите это расстояние на второй дуге, получив точку L.
  7. Проведите прямую через точки P и L. Эта прямая будет параллельна прямой a, так как мы построили равные соответственные углы ($\angle LPK = \angle NQM$).
• С помощью линейки с двумя параллельными краями. Это очень простой бытовой способ.
  1. Приложите линейку к листу бумаги.
  2. Проведите прямую вдоль одного длинного края линейки.
  3. Не сдвигая линейку, проведите вторую прямую вдоль другого края.
  4. Поскольку края линейки параллельны, проведенные прямые также будут параллельны.

Ответ: Практические способы построения параллельных прямых включают использование линейки и угольника, циркуля и линейки, а также линейки с двумя параллельными краями.

2. Постройте на глаз два равных треугольника. Проверьте точность построения измерительными инструментами.

Это практическое задание, которое выполняется для оценки собственного глазомера и понимания необходимости использования точных инструментов в геометрии. Вот как его выполнить:

1. Построение "на глаз".

   На листе бумаги нарисуйте от руки произвольный треугольник. Желательно, чтобы он не был "правильным" (равносторонним или равнобедренным), так как это усложнит задачу. Обозначим его вершины как $A$, $B$, $C$. Затем, рядом с ним, внимательно глядя на первый треугольник, попытайтесь нарисовать второй, $\triangle A'B'C'$, который, по вашему мнению, является его точной копией. При этом не используйте никаких инструментов, кроме карандаша.

2. Проверка точности построения.

   После того как оба треугольника нарисованы, возьмите измерительные инструменты — линейку и транспортир — и проверьте, действительно ли треугольники равны. Два треугольника считаются равными, если их соответствующие элементы (стороны и углы) равны. Проверить это можно по одному из трех основных признаков равенства треугольников:

   • По трем сторонам (SSS): С помощью линейки измерьте длины всех трех сторон первого треугольника ($AB, BC, CA$) и второго ($\triangle A'B'C'$). Сравните длины соответствующих сторон. Если $AB = A'B'$, $BC = B'C'$ и $CA = C'A'$, то ваше построение точно.
   • По двум сторонам и углу между ними (SAS): Измерьте две любые стороны и угол между ними в первом треугольнике (например, стороны $AB$, $AC$ и угол $\angle A$). Проведите такие же измерения для соответствующих элементов второго треугольника ($A'B'$, $A'C'$ и $\angle A'$). Если $AB = A'B'$, $AC = A'C'$ и $\angle A = \angle A'$, то треугольники равны.
   • По стороне и двум прилежащим к ней углам (ASA): Измерьте одну любую сторону и два прилегающих к ней угла в первом треугольнике (например, сторону $AC$, углы $\angle A$ и $\angle C$). Сравните их с соответствующими элементами второго треугольника ($A'C'$, $\angle A'$ и $\angle C'$). Если $AC = A'C'$, $\angle A = \angle A'$ и $\angle C = \angle C'$, то треугольники равны.

3. Вывод.

   С большой вероятностью, ваши измерения покажут небольшие расхождения в длинах сторон и/или градусных мерах углов. Это нормально и наглядно демонстрирует, что человеческий глаз — неточный инструмент, и для точных геометрических построений необходимо пользоваться специальными приборами.

Ответ: Для выполнения задания нужно нарисовать два треугольника от руки, стараясь сделать их идентичными. Затем, используя линейку и транспортир, проверить, выполняется ли один из признаков равенства треугольников (например, SSS — равенство трех сторон), чтобы оценить точность построения "на глаз".

3. Назовите несколько примеров параллельных прямых или отрезков, взятых из окружающей вас среды.

Параллельные линии и отрезки постоянно встречаются в окружающем нас мире, как в природе, так и в созданных человеком объектах. Вот несколько наглядных примеров:

• Железнодорожные рельсы: Две рельсы одного пути лежат в одной плоскости и не пересекаются, то есть они параллельны.
• Противоположные края предметов: Края стола, двери, окна, книги или экрана смартфона являются параллельными отрезками.
• Полки в шкафу: В большинстве случаев полки в стеллажах или шкафах устанавливаются параллельно друг другу и параллельно полу.
• Разлиновка тетради: Горизонтальные линии на страницах тетради в линейку или в клетку представляют собой множество параллельных прямых.
• Струны музыкальных инструментов: Струны на грифе гитары или струны внутри пианино натянуты параллельно друг другу.
• Ступени лестницы: Перекладины (ступени) обычной приставной лестницы или эскалатора параллельны.
• Линии электропередач: Несколько проводов, протянутых между опорами ЛЭП, обычно висят параллельно.
• Дорожная разметка: Линии, разделяющие полосы движения на дороге, являются примером параллельных линий.

Ответ: Примерами параллельных прямых и отрезков в окружающей среде являются железнодорожные рельсы, противоположные края стола, полки в шкафу, линии в тетради, ступени лестницы.

1. Что такое треугольник?

2. Что такое угол треугольника при данной вершине?

3. Какие отрезки называются равными?

4. Какие углы называются равными?

5. Что означает равенство $\triangle ABC = \triangle A_1 B_1 C_1$?

6. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

7. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

8. Докажите, что прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую.

1. Что такое треугольник?

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. Треугольник с вершинами $A$, $B$ и $C$ обозначается как $\triangle ABC$.

Ответ: Треугольник — это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, соединяющими эти точки.

2. Что такое угол треугольника при данной вершине?

Угол треугольника при данной вершине — это угол, образованный двумя сторонами треугольника, выходящими из этой вершины. Например, в треугольнике $\triangle ABC$ угол при вершине $B$ (или просто угол $B$) — это угол, образованный сторонами $AB$ и $BC$. Этот угол находится внутри треугольника.

Ответ: Угол треугольника при данной вершине — это угол, образованный двумя его сторонами, сходящимися в этой вершине.

3. Какие отрезки называются равными?

Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. В геометрии это означает, что один отрезок можно наложить на другой так, чтобы их концы полностью совпали. Если отрезки $AB$ и $CD$ равны, это записывается как $AB = CD$.

Ответ: Равными называются отрезки, имеющие одинаковую длину.

4. Какие углы называются равными?

Два угла называются равными, если они имеют одинаковую градусную (или радианную) меру. Равные углы можно совместить наложением так, чтобы их вершины и соответствующие стороны совпали. Если углы $\angle ABC$ и $\angle DEF$ равны, это записывается как $\angle ABC = \angle DEF$.

Ответ: Равными называются углы, имеющие одинаковую градусную меру.

5. Что означает равенство $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$?

Равенство $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ означает, что эти два треугольника равны (или конгруэнтны). Равные треугольники — это такие треугольники, которые можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. То есть, из $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ следует, что:

$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$ (равенство соответствующих сторон)

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$ (равенство соответствующих углов)

Порядок вершин в записи равенства имеет значение, так как он указывает на соответствие вершин.

Ответ: Это равенство означает, что у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны соответствующие стороны ($AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$) и соответствующие углы ($\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$).

6. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Обозначается как $a \parallel b$.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Ответ: Параллельные прямые — это прямые на плоскости, которые не пересекаются. Параллельные отрезки — это отрезки, лежащие на параллельных прямых.

7. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых (также известная как пятый постулат Евклида в одной из его формулировок или аксиома Плейфера) гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

8. Докажите, что прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую.

Это утверждение является следствием из аксиомы параллельных прямых и доказывается методом от противного.

Дано:

Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$.

Доказать:

Прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:

Предположим противное: прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

Если прямая $c$ не пересекает прямую $b$, то по определению параллельных прямых, прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$).

Точка $M$ принадлежит прямой $a$ и прямой $c$. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, точка $M$ не лежит на прямой $b$.

Таким образом, мы имеем две прямые, $a$ и $c$, которые проходят через одну и ту же точку $M$ и обе параллельны прямой $b$.

Это противоречит аксиоме параллельных прямых, которая утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой (в нашем случае точка $M$ и прямая $b$), можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, прямая $c$ должна пересекать прямую $b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство проводится методом от противного. Если предположить, что третья прямая не пересекает вторую параллельную прямую, то она ей параллельна. Тогда через точку пересечения с первой прямой проходят две разные прямые, параллельные второй, что противоречит аксиоме параллельных прямых.

1.47. На стороне $AB$ треугольника взята точка $D$. Найдите сторону $AB$ треугольника, если $AD = 5 \text{ см}$, $BD = 6 \text{ см}$.

Согласно условию задачи, точка D лежит на стороне AB треугольника. Это означает, что точка D находится между точками A и B, и отрезок AB состоит из двух отрезков: AD и DB.

В соответствии с аксиомой измерения отрезков, длина всего отрезка равна сумме длин его частей. В данном случае, длина стороны AB будет равна сумме длин отрезков AD и DB.

Это можно выразить следующей формулой: $AB = AD + DB$

Нам даны длины отрезков AD и DB: $AD = 5$ см $BD = 6$ см

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину стороны AB: $AB = 5 \text{ см} + 6 \text{ см} = 11 \text{ см}$

Ответ: 11 см.