Страница 20 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.34. На какой угол поворачивается минутная стрелка часов в течение 20 минут; в течение 30 минут?

Для решения задачи необходимо определить угловую скорость движения минутной стрелки часов.

Минутная стрелка совершает полный оборот, равный $360^\circ$, за 60 минут. Таким образом, за одну минуту она поворачивается на угол:

$ \frac{360^\circ}{60 \text{ минут}} = 6^\circ \text{ в минуту} $

Зная это, мы можем вычислить угол поворота для любого заданного промежутка времени.

в течение 20 минут

Умножим количество минут на угол поворота за одну минуту:

$ 20 \text{ минут} \times 6^\circ/\text{минуту} = 120^\circ $

Ответ: $120^\circ$.

в течение 30 минут

Аналогично, для 30 минут:

$ 30 \text{ минут} \times 6^\circ/\text{минуту} = 180^\circ $

Ответ: $180^\circ$.

1.35. На какой угол поворачивается часовая стрелка часов в течение 0,5 часа; в течение 5 минут?

Для того чтобы определить угол поворота часовой стрелки, сначала найдем ее угловую скорость. Часовая стрелка совершает полный оборот ($360^{\circ}$) за 12 часов.

Угловая скорость часовой стрелки в градусах в час:

$v_{час} = \frac{360^{\circ}}{12 \text{ часов}} = 30^{\circ}/\text{час}$

Поскольку в одном часе 60 минут, можно рассчитать угловую скорость в градусах в минуту:

$v_{мин} = \frac{30^{\circ}}{60 \text{ минут}} = 0,5^{\circ}/\text{минуту}$

Теперь можно ответить на вопросы задачи.

в течение 0,5 часа

Умножим угловую скорость часовой стрелки в градусах в час на заданный промежуток времени, чтобы найти угол поворота:

$\alpha_1 = v_{час} \times t_1 = 30^{\circ}/\text{час} \times 0,5 \text{ часа} = 15^{\circ}$

Ответ: $15^{\circ}$.

в течение 5 минут

Умножим угловую скорость часовой стрелки в градусах в минуту на заданный промежуток времени:

$\alpha_2 = v_{мин} \times t_2 = 0,5^{\circ}/\text{минуту} \times 5 \text{ минут} = 2,5^{\circ}$

Ответ: $2,5^{\circ}$.

1.36. Начертите угол $AOB$ и лучи $OK$ и $OM$, проходящие между сторонами этого угла, так, чтобы $\angle AOB = 90^\circ$, $\angle AOK = 40^\circ$, $\angle MOB = 30^\circ$. Найдите $\angle KOM$.

Согласно условию задачи, у нас есть угол $∠AOB = 90°$. Лучи OK и OM проходят между его сторонами OA и OB. Это означает, что угол AOB можно представить как сумму трех последовательных углов: $∠AOK$, $∠KOM$ и $∠MOB$.

По аксиоме сложения углов, величина большего угла равна сумме величин меньших углов, на которые он разделен лучами, проходящими внутри него. Таким образом, мы можем записать следующее равенство:

$∠AOB = ∠AOK + ∠KOM + ∠MOB$

Из условия нам даны значения следующих углов: $∠AOB = 90°$, $∠AOK = 40°$ и $∠MOB = 30°$.

Подставим известные значения в нашу формулу, чтобы найти неизвестный угол $∠KOM$:

$90° = 40° + ∠KOM + 30°$

Сначала сложим известные углы в правой части уравнения:

$90° = (40° + 30°) + ∠KOM$

$90° = 70° + ∠KOM$

Чтобы найти $∠KOM$, вычтем $70°$ из $90°$:

$∠KOM = 90° - 70°$

$∠KOM = 20°$

Таким образом, величина искомого угла KOM составляет 20°.

Ответ: $20°$.

1.37. $OM$ – луч, делящий угол $AOB$ пополам, $OK$ – луч, делящий угол $AOM$ пополам. Во сколько раз угол $KOM$ меньше угла $AOB$? Обоснуйте ответ.

Для решения этой задачи и обоснования ответа воспользуемся определением биссектрисы угла. Биссектриса — это луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла.

1. По условию задачи, луч $OM$ делит угол $AOB$ пополам. Это означает, что $OM$ является биссектрисой угла $AOB$. Следовательно, величина угла $AOM$ равна половине величины угла $AOB$. Запишем это в виде математического равенства: $$ \angle AOM = \frac{1}{2} \angle AOB $$

2. Далее, по условию, луч $OK$ делит угол $AOM$ пополам. Это означает, что $OK$ является биссектрисой угла $AOM$. Следовательно, величина угла $KOM$ равна половине величины угла $AOM$: $$ \angle KOM = \frac{1}{2} \angle AOM $$

3. Теперь необходимо найти, как соотносятся углы $KOM$ и $AOB$. Для этого подставим выражение для $\angle AOM$ из первого равенства во второе: $$ \angle KOM = \frac{1}{2} \cdot (\angle AOM) = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{1}{2} \angle AOB\right) $$ Выполнив умножение, получаем: $$ \angle KOM = \frac{1}{4} \angle AOB $$

4. Полученное равенство $\angle KOM = \frac{1}{4} \angle AOB$ показывает, что угол $KOM$ составляет одну четвертую от угла $AOB$. Чтобы ответить на вопрос, во сколько раз угол $KOM$ меньше угла $AOB$, можно переписать это равенство так: $$ \angle AOB = 4 \cdot \angle KOM $$ Это соотношение доказывает, что угол $AOB$ в 4 раза больше угла $KOM$, а значит, угол $KOM$ в 4 раза меньше угла $AOB$.

Ответ: в 4 раза.

1.38. Может ли луч c проходить между сторонами угла (ab), если:

1) $\angle (ac) = 30^{\circ}$, $\angle (ab) = 80^{\circ}$, $\angle (cd) = 50^{\circ}$;

2) $\angle (ac) = 100^{\circ}$, $\angle (cb) = 90^{\circ}$;

3) угол (ac) больше угла (ab)?

1) Луч c проходит между сторонами угла (ab) тогда и только тогда, когда выполняется аксиома сложения углов: $∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb)$. Согласно условию, $∠(ac) = 30°$ и $∠(ab) = 80°$. Подставив эти значения в формулу, мы можем определить, каким должен быть угол $∠(cb)$, чтобы луч c находился между сторонами угла (ab): $80° = 30° + ∠(cb)$. Отсюда следует, что $∠(cb) = 80° - 30° = 50°$. Так как мы получили действительное положительное значение для угла, такая конфигурация возможна. Условие $∠(cd) = 50°$ не противоречит этому выводу, а лишь дает информацию о положении другого луча d, который, например, может совпадать с лучом b. Следовательно, луч c может проходить между сторонами угла (ab).

Ответ: Да.

2) Если предположить, что луч c проходит между сторонами угла (ab), то должно выполняться равенство $∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb)$. По условию, $∠(ac) = 100°$ и $∠(cb) = 90°$. Тогда величина угла (ab) должна быть: $∠(ab) = 100° + 90° = 190°$. В евклидовой геометрии на плоскости величина угла между двумя лучами, выходящими из одной точки, по определению не превышает $180°$. Так как $190° > 180°$, такая ситуация невозможна. Следовательно, луч c не может проходить между сторонами угла (ab).

Ответ: Нет.

3) Предположим, что луч c проходит между сторонами угла (ab). В этом случае справедливо равенство $∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb)$. Из этого равенства следует, что $∠(ab) ≥ ∠(ac)$, поскольку величина любого угла $∠(cb)$ является неотрицательной ($∠(cb) ≥ 0$). Однако по условию задачи угол (ac) больше угла (ab), то есть $∠(ac) > ∠(ab)$, что эквивалентно $∠(ab) < ∠(ac)$. Получаем противоречие: $∠(ab) ≥ ∠(ac)$ и $∠(ab) < ∠(ac)$ одновременно выполняться не могут. Другими словами, если из $∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb)$ выразить $∠(cb)$, получим $∠(cb) = ∠(ab) - ∠(ac)$. Так как по условию $∠(ab) < ∠(ac)$, то разность $∠(ab) - ∠(ac)$ будет отрицательной, что невозможно для величины угла. Следовательно, исходное предположение неверно, и луч c не может проходить между сторонами угла (ab).

Ответ: Нет.

1.39. Между сторонами угла $(ab)$, равного $60^\circ$, проходит луч $c$. Найдите углы $(ac)$ и $(bc)$, если:

1) угол $(ac)$ на $30^\circ$ больше угла $(bc)$;

2) угол $(ac)$ в два раза больше угла $(bc)$.

Поскольку луч c проходит между сторонами угла (ab), то по аксиоме измерения углов, величина угла (ab) равна сумме величин углов (ac) и (bc), на которые он разделен лучом c.

Дано: $ \text{угол } (ab) = 60^\circ $.

Следовательно, мы имеем основное равенство: $ \text{угол } (ac) + \text{угол } (bc) = 60^\circ $.

1) угол (ac) на 30° больше угла (bc)

Пусть величина угла (bc) равна $x$. Тогда, согласно условию, величина угла (ac) равна $x + 30^\circ$.

Подставим эти выражения в наше основное равенство:

$ (x + 30^\circ) + x = 60^\circ $

$ 2x + 30^\circ = 60^\circ $

$ 2x = 60^\circ - 30^\circ $

$ 2x = 30^\circ $

$ x = \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ $

Таким образом, величина угла (bc) составляет $15^\circ$.

Тогда величина угла (ac) равна $15^\circ + 30^\circ = 45^\circ$.

Ответ: угол (ac) = $45^\circ$, угол (bc) = $15^\circ$.

2) угол (ac) в два раза больше угла (bc)

Пусть величина угла (bc) равна $y$. Тогда, согласно условию, величина угла (ac) равна $2y$.

Подставим эти выражения в наше основное равенство:

$ 2y + y = 60^\circ $

$ 3y = 60^\circ $

$ y = \frac{60^\circ}{3} = 20^\circ $

Таким образом, величина угла (bc) составляет $20^\circ$.

Тогда величина угла (ac) равна $2 \cdot 20^\circ = 40^\circ$.

Ответ: угол (ac) = $40^\circ$, угол (bc) = $20^\circ$.

1.40. Между сторонами угла $(mn)$, равного $90^\circ$, проходит луч $l$. Найдите углы $(ml)$ и $(nl)$, если:

1) луч $l$ делит угол $(mn)$ пополам;

2) градусные меры углов $(ml)$ и $(nl)$ относятся как $2 : 3$.

По условию задачи, дан угол $(mn)$, равный $90^\circ$. Между его сторонами $m$ и $n$ проходит луч $l$. Этот луч делит исходный угол на два смежных угла: $(ml)$ и $(nl)$. Сумма этих двух углов равна величине исходного угла:

$\angle(ml) + \angle(nl) = \angle(mn) = 90^\circ$

Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

1)

В первом случае луч $l$ делит угол $(mn)$ пополам. Это означает, что луч $l$ является биссектрисой угла $(mn)$, и, следовательно, углы $(ml)$ и $(nl)$ равны между собой.

$\angle(ml) = \angle(nl)$

Подставим это равенство в формулу суммы углов:

$\angle(ml) + \angle(ml) = 90^\circ$

$2 \cdot \angle(ml) = 90^\circ$

Отсюда находим величину угла $(ml)$:

$\angle(ml) = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Так как $\angle(ml) = \angle(nl)$, то и угол $(nl)$ равен $45^\circ$.

Ответ: $\angle(ml) = 45^\circ$, $\angle(nl) = 45^\circ$.

2)

Во втором случае градусные меры углов $(ml)$ и $(nl)$ относятся как 2 : 3. Это можно записать в виде пропорции:

$\frac{\angle(ml)}{\angle(nl)} = \frac{2}{3}$

Для решения введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно выразить величины углов через $x$:

$\angle(ml) = 2x$

$\angle(nl) = 3x$

Используем тот факт, что сумма этих углов равна $90^\circ$:

$\angle(ml) + \angle(nl) = 90^\circ$

$2x + 3x = 90^\circ$

$5x = 90^\circ$

Найдем значение коэффициента $x$:

$x = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ$

Теперь, зная $x$, можем вычислить градусные меры каждого угла:

$\angle(ml) = 2x = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$

$\angle(nl) = 3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$

Проверка: $36^\circ + 54^\circ = 90^\circ$. Соотношение: $36:54 = (2 \cdot 18):(3 \cdot 18) = 2:3$. Решение верно.

Ответ: $\angle(ml) = 36^\circ$, $\angle(nl) = 54^\circ$.

1.41. Луч OE делит угол AOB на два угла. Найдите $\angle AOB$, если:

1) $\angle AOE = 44^\circ$, $\angle EOB = 77^\circ$;

2) $\angle AOE = 12^\circ 37'$, $\angle EOB = 108^\circ 25'.$

Согласно условию, луч OE делит угол AOB на два угла: ∠AOE и ∠EOB. Это означает, что луч OE проходит между сторонами угла AOB. По основной аксиоме измерения углов, градусная мера угла AOB равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Таким образом, для нахождения величины угла AOB, мы должны сложить величины углов AOE и EOB:

$∠AOB = ∠AOE + ∠EOB$

1)

Даны значения углов: $∠AOE = 44°$ и $∠EOB = 77°$.

Подставляем эти значения в формулу:

$∠AOB = 44° + 77° = 121°$

Ответ: $121°$.

2)

Даны значения углов: $∠AOE = 12°37′$ и $∠EOB = 108°25′$.

Для нахождения суммы сложим градусы с градусами, а минуты с минутами:

$∠AOB = 12°37′ + 108°25′ = (12 + 108)° + (37 + 25)′ = 120° + 62′$

Мы знаем, что в одном градусе 60 минут ($1° = 60′$). Так как 62 минуты больше 60 минут, мы можем представить 62 минуты как 1 градус и 2 минуты:

$62′ = 60′ + 2′ = 1°2′$

Теперь добавим полученный градус к основной сумме градусов:

$∠AOB = 120° + 1°2′ = 121°2′$

Ответ: $121°2′$.

1.42. Луч ОС делит угол AOB на два угла. Найдите угол COB, если $\angle AOB = 78^{\circ}$, а угол AOC на $18^{\circ}$ меньше угла BOC.

Согласно условию, луч OC делит угол AOB на два угла, $\angle AOC$ и $\angle BOC$. Это означает, что величина угла AOB равна сумме величин углов AOC и BOC. Запишем это в виде формулы:

$\angle AOB = \angle AOC + \angle BOC$

Нам дано, что $\angle AOB = 78^\circ$. Также известно, что угол AOC на $18^\circ$ меньше угла BOC. Это соотношение можно выразить так:

$\angle AOC = \angle BOC - 18^\circ$

Для решения задачи введем переменную. Пусть величина искомого угла $\angle BOC$ равна $x$. Тогда, исходя из условия, величина угла $\angle AOC$ будет равна $x - 18^\circ$.

Теперь подставим все известные значения и выражения в исходную формулу суммы углов:

$78^\circ = (x - 18^\circ) + x$

Решим полученное линейное уравнение относительно $x$:

$78 = 2x - 18$

Перенесем $18$ в левую часть уравнения, изменив знак:

$78 + 18 = 2x$

$96 = 2x$

Найдем $x$:

$x = \frac{96}{2}$

$x = 48$

Так как за $x$ мы принимали величину угла BOC, то $\angle BOC = 48^\circ$.

Для проверки можем найти угол AOC: $\angle AOC = 48^\circ - 18^\circ = 30^\circ$.

Сумма углов: $\angle AOC + \angle BOC = 30^\circ + 48^\circ = 78^\circ$.

Результат совпадает с данной в условии величиной угла AOB, значит, задача решена верно.

Ответ: $48^\circ$.

1.43. Луч OC делит угол AOB на два угла. Найдите угол AOC, если $\angle AOB = 155^\circ$ и угол AOC на $15^\circ$ больше угла COB.

Согласно условию, луч OC делит угол AOB на два угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$. Это означает, что величина угла AOB является суммой величин этих двух углов:

$\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$

Известно, что $\angle AOB = 155^\circ$. Также дано, что угол AOC на $15^\circ$ больше угла COB, что можно записать как:

$\angle AOC = \angle COB + 15^\circ$

Для решения задачи введем переменную. Пусть градусная мера угла $\angle COB$ равна $x$.

$\angle COB = x$

Тогда градусная мера угла $\angle AOC$ будет:

$\angle AOC = x + 15^\circ$

Теперь подставим выражения для углов в формулу их суммы:

$155^\circ = (x + 15^\circ) + x$

Решим полученное уравнение:

$155 = 2x + 15$

$155 - 15 = 2x$

$140 = 2x$

$x = \frac{140}{2}$

$x = 70^\circ$

Мы нашли, что $\angle COB = 70^\circ$. Теперь найдем величину угла AOC, которую требуется найти в задаче:

$\angle AOC = x + 15^\circ = 70^\circ + 15^\circ = 85^\circ$

Ответ: $85^\circ$.

1.44. Луч OB проходит между сторонами угла AOC. Известно, что $\angle AOC = 108^\circ$, $\angle AOB = 3 \cdot \angle BOC$. Найдите угол AOB.

Поскольку луч OB проходит между сторонами угла AOC, то угол AOC состоит из двух углов: AOB и BOC. Это означает, что величина угла AOC равна сумме величин углов AOB и BOC.

Математически это выражается формулой: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$.

В условии задачи даны следующие значения:

$\angle AOC = 108^\circ$

$\angle AOB = 3 \cdot \angle BOC$

Для решения задачи введем переменную. Обозначим величину угла BOC за $x$.

Пусть $\angle BOC = x$.

Тогда, исходя из условия, $\angle AOB = 3x$.

Теперь подставим эти выражения в основную формулу:

$108^\circ = 3x + x$

Решим полученное уравнение относительно $x$:

$108 = 4x$

$x = \frac{108}{4}$

$x = 27^\circ$

Таким образом, мы нашли величину угла BOC: $\angle BOC = 27^\circ$.

Нам нужно найти угол AOB. Подставим найденное значение $x$ в выражение для $\angle AOB$:

$\angle AOB = 3x = 3 \cdot 27^\circ = 81^\circ$.

Ответ: $81^\circ$

1.45. На рисунке 1.27 угол $\angle AOD$ прямой, $\angle AOC = \angle BOC = \angle COD$. Найдите угол, образованный лучами, которые делят $\angle AOB$ и $\angle COD$ пополам.

Рис. 1.27

Согласно условию задачи, угол $∠AOD$ является прямым, что означает $∠AOD = 90°$.В условии также сказано, что $∠AOC = ∠BOC = ∠COD$. Это утверждение содержит внутреннее противоречие. Из рисунка видно, что угол $∠AOC$ состоит из углов $∠AOB$ и $∠BOC$, то есть $∠AOC = ∠AOB + ∠BOC$. Если бы выполнялось равенство $∠AOC = ∠BOC$, то это означало бы, что $∠AOB = 0°$, что не соответствует рисунку и условию задачи.

Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и имелось в виду, что лучи OB и OC делят прямой угол $∠AOD$ на три равных угла: $∠AOB = ∠BOC = ∠COD$. Будем исходить из этого предположения для решения задачи.

Сумма этих трех углов равна углу $∠AOD$:

$∠AOB + ∠BOC + ∠COD = ∠AOD = 90°$

Поскольку эти три угла равны, мы можем найти величину каждого из них. Пусть $∠AOB = ∠BOC = ∠COD = x$.

$x + x + x = 90°$

$3x = 90°$

$x = \frac{90°}{3} = 30°$

Следовательно, $∠AOB = 30°$, $∠BOC = 30°$, $∠COD = 30°$.

Далее, нам нужно найти угол, образованный лучами, которые делят $∠AOB$ и $∠COD$ пополам.Пусть луч $OK$ – биссектриса угла $∠AOB$, а луч $OM$ – биссектриса угла $∠COD$. Мы ищем величину угла $∠KOM$.

По определению биссектрисы:

Луч $OK$ делит угол $∠AOB$ пополам, поэтому $∠KOB = \frac{1}{2} ∠AOB = \frac{1}{2} \cdot 30° = 15°$.

Луч $OM$ делит угол $∠COD$ пополам, поэтому $∠COM = \frac{1}{2} ∠COD = \frac{1}{2} \cdot 30° = 15°$.

Искомый угол $∠KOM$ состоит из трех смежных углов: $∠KOB$, $∠BOC$ и $∠COM$.

$∠KOM = ∠KOB + ∠BOC + ∠COM$

Подставляем известные значения:

$∠KOM = 15° + 30° + 15° = 60°$.

Ответ: 60°.