Номер 1.38, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.38. Может ли луч c проходить между сторонами угла (ab), если:

1) $\angle (ac) = 30^{\circ}$, $\angle (ab) = 80^{\circ}$, $\angle (cd) = 50^{\circ}$;

2) $\angle (ac) = 100^{\circ}$, $\angle (cb) = 90^{\circ}$;

3) угол (ac) больше угла (ab)?

1) Луч c проходит между сторонами угла (ab) тогда и только тогда, когда выполняется аксиома сложения углов: $∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb)$. Согласно условию, $∠(ac) = 30°$ и $∠(ab) = 80°$. Подставив эти значения в формулу, мы можем определить, каким должен быть угол $∠(cb)$, чтобы луч c находился между сторонами угла (ab): $80° = 30° + ∠(cb)$. Отсюда следует, что $∠(cb) = 80° - 30° = 50°$. Так как мы получили действительное положительное значение для угла, такая конфигурация возможна. Условие $∠(cd) = 50°$ не противоречит этому выводу, а лишь дает информацию о положении другого луча d, который, например, может совпадать с лучом b. Следовательно, луч c может проходить между сторонами угла (ab).

Ответ: Да.

2) Если предположить, что луч c проходит между сторонами угла (ab), то должно выполняться равенство $∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb)$. По условию, $∠(ac) = 100°$ и $∠(cb) = 90°$. Тогда величина угла (ab) должна быть: $∠(ab) = 100° + 90° = 190°$. В евклидовой геометрии на плоскости величина угла между двумя лучами, выходящими из одной точки, по определению не превышает $180°$. Так как $190° > 180°$, такая ситуация невозможна. Следовательно, луч c не может проходить между сторонами угла (ab).

Ответ: Нет.

3) Предположим, что луч c проходит между сторонами угла (ab). В этом случае справедливо равенство $∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb)$. Из этого равенства следует, что $∠(ab) ≥ ∠(ac)$, поскольку величина любого угла $∠(cb)$ является неотрицательной ($∠(cb) ≥ 0$). Однако по условию задачи угол (ac) больше угла (ab), то есть $∠(ac) > ∠(ab)$, что эквивалентно $∠(ab) < ∠(ac)$. Получаем противоречие: $∠(ab) ≥ ∠(ac)$ и $∠(ab) < ∠(ac)$ одновременно выполняться не могут. Другими словами, если из $∠(ab) = ∠(ac) + ∠(cb)$ выразить $∠(cb)$, получим $∠(cb) = ∠(ab) - ∠(ac)$. Так как по условию $∠(ab) < ∠(ac)$, то разность $∠(ab) - ∠(ac)$ будет отрицательной, что невозможно для величины угла. Следовательно, исходное предположение неверно, и луч c не может проходить между сторонами угла (ab).

Ответ: Нет.