Номер 1.40, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.40. Между сторонами угла $(mn)$, равного $90^\circ$, проходит луч $l$. Найдите углы $(ml)$ и $(nl)$, если:

1) луч $l$ делит угол $(mn)$ пополам;

2) градусные меры углов $(ml)$ и $(nl)$ относятся как $2 : 3$.

По условию задачи, дан угол $(mn)$, равный $90^\circ$. Между его сторонами $m$ и $n$ проходит луч $l$. Этот луч делит исходный угол на два смежных угла: $(ml)$ и $(nl)$. Сумма этих двух углов равна величине исходного угла:

$\angle(ml) + \angle(nl) = \angle(mn) = 90^\circ$

Рассмотрим два случая, описанных в задаче.

1)

В первом случае луч $l$ делит угол $(mn)$ пополам. Это означает, что луч $l$ является биссектрисой угла $(mn)$, и, следовательно, углы $(ml)$ и $(nl)$ равны между собой.

$\angle(ml) = \angle(nl)$

Подставим это равенство в формулу суммы углов:

$\angle(ml) + \angle(ml) = 90^\circ$

$2 \cdot \angle(ml) = 90^\circ$

Отсюда находим величину угла $(ml)$:

$\angle(ml) = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$

Так как $\angle(ml) = \angle(nl)$, то и угол $(nl)$ равен $45^\circ$.

Ответ: $\angle(ml) = 45^\circ$, $\angle(nl) = 45^\circ$.

2)

Во втором случае градусные меры углов $(ml)$ и $(nl)$ относятся как 2 : 3. Это можно записать в виде пропорции:

$\frac{\angle(ml)}{\angle(nl)} = \frac{2}{3}$

Для решения введем коэффициент пропорциональности $x$. Тогда можно выразить величины углов через $x$:

$\angle(ml) = 2x$

$\angle(nl) = 3x$

Используем тот факт, что сумма этих углов равна $90^\circ$:

$\angle(ml) + \angle(nl) = 90^\circ$

$2x + 3x = 90^\circ$

$5x = 90^\circ$

Найдем значение коэффициента $x$:

$x = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ$

Теперь, зная $x$, можем вычислить градусные меры каждого угла:

$\angle(ml) = 2x = 2 \cdot 18^\circ = 36^\circ$

$\angle(nl) = 3x = 3 \cdot 18^\circ = 54^\circ$

Проверка: $36^\circ + 54^\circ = 90^\circ$. Соотношение: $36:54 = (2 \cdot 18):(3 \cdot 18) = 2:3$. Решение верно.

Ответ: $\angle(ml) = 36^\circ$, $\angle(nl) = 54^\circ$.