Номер 1.45, страница 20 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.45. На рисунке 1.27 угол $\angle AOD$ прямой, $\angle AOC = \angle BOC = \angle COD$. Найдите угол, образованный лучами, которые делят $\angle AOB$ и $\angle COD$ пополам.

Рис. 1.27

Согласно условию задачи, угол $∠AOD$ является прямым, что означает $∠AOD = 90°$.В условии также сказано, что $∠AOC = ∠BOC = ∠COD$. Это утверждение содержит внутреннее противоречие. Из рисунка видно, что угол $∠AOC$ состоит из углов $∠AOB$ и $∠BOC$, то есть $∠AOC = ∠AOB + ∠BOC$. Если бы выполнялось равенство $∠AOC = ∠BOC$, то это означало бы, что $∠AOB = 0°$, что не соответствует рисунку и условию задачи.

Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и имелось в виду, что лучи OB и OC делят прямой угол $∠AOD$ на три равных угла: $∠AOB = ∠BOC = ∠COD$. Будем исходить из этого предположения для решения задачи.

Сумма этих трех углов равна углу $∠AOD$:

$∠AOB + ∠BOC + ∠COD = ∠AOD = 90°$

Поскольку эти три угла равны, мы можем найти величину каждого из них. Пусть $∠AOB = ∠BOC = ∠COD = x$.

$x + x + x = 90°$

$3x = 90°$

$x = \frac{90°}{3} = 30°$

Следовательно, $∠AOB = 30°$, $∠BOC = 30°$, $∠COD = 30°$.

Далее, нам нужно найти угол, образованный лучами, которые делят $∠AOB$ и $∠COD$ пополам.Пусть луч $OK$ – биссектриса угла $∠AOB$, а луч $OM$ – биссектриса угла $∠COD$. Мы ищем величину угла $∠KOM$.

По определению биссектрисы:

Луч $OK$ делит угол $∠AOB$ пополам, поэтому $∠KOB = \frac{1}{2} ∠AOB = \frac{1}{2} \cdot 30° = 15°$.

Луч $OM$ делит угол $∠COD$ пополам, поэтому $∠COM = \frac{1}{2} ∠COD = \frac{1}{2} \cdot 30° = 15°$.

Искомый угол $∠KOM$ состоит из трех смежных углов: $∠KOB$, $∠BOC$ и $∠COM$.

$∠KOM = ∠KOB + ∠BOC + ∠COM$

Подставляем известные значения:

$∠KOM = 15° + 30° + 15° = 60°$.

Ответ: 60°.