Вопросы, страница 23 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Что такое треугольник?

2. Что такое угол треугольника при данной вершине?

3. Какие отрезки называются равными?

4. Какие углы называются равными?

5. Что означает равенство $\triangle ABC = \triangle A_1 B_1 C_1$?

6. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

7. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

8. Докажите, что прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую.

1. Что такое треугольник?

Треугольник — это геометрическая фигура, которая состоит из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и трёх отрезков, попарно соединяющих эти точки. Точки называются вершинами треугольника, а отрезки — его сторонами. Треугольник с вершинами $A$, $B$ и $C$ обозначается как $\triangle ABC$.

Ответ: Треугольник — это фигура, образованная тремя точками, не лежащими на одной прямой, и тремя отрезками, соединяющими эти точки.

2. Что такое угол треугольника при данной вершине?

Угол треугольника при данной вершине — это угол, образованный двумя сторонами треугольника, выходящими из этой вершины. Например, в треугольнике $\triangle ABC$ угол при вершине $B$ (или просто угол $B$) — это угол, образованный сторонами $AB$ и $BC$. Этот угол находится внутри треугольника.

Ответ: Угол треугольника при данной вершине — это угол, образованный двумя его сторонами, сходящимися в этой вершине.

3. Какие отрезки называются равными?

Два отрезка называются равными, если они имеют одинаковую длину. В геометрии это означает, что один отрезок можно наложить на другой так, чтобы их концы полностью совпали. Если отрезки $AB$ и $CD$ равны, это записывается как $AB = CD$.

Ответ: Равными называются отрезки, имеющие одинаковую длину.

4. Какие углы называются равными?

Два угла называются равными, если они имеют одинаковую градусную (или радианную) меру. Равные углы можно совместить наложением так, чтобы их вершины и соответствующие стороны совпали. Если углы $\angle ABC$ и $\angle DEF$ равны, это записывается как $\angle ABC = \angle DEF$.

Ответ: Равными называются углы, имеющие одинаковую градусную меру.

5. Что означает равенство $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$?

Равенство $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ означает, что эти два треугольника равны (или конгруэнтны). Равные треугольники — это такие треугольники, которые можно совместить наложением так, что они полностью совпадут. Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов: соответствующие стороны равны и соответствующие углы равны. То есть, из $\triangle ABC = \triangle A_1B_1C_1$ следует, что:

$AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$ (равенство соответствующих сторон)

$\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$ (равенство соответствующих углов)

Порядок вершин в записи равенства имеет значение, так как он указывает на соответствие вершин.

Ответ: Это равенство означает, что у треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ равны соответствующие стороны ($AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $AC = A_1C_1$) и соответствующие углы ($\angle A = \angle A_1$, $\angle B = \angle B_1$, $\angle C = \angle C_1$).

6. Дайте определение параллельных прямых. Какие два отрезка называются параллельными?

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, то есть не имеют ни одной общей точки. Обозначается как $a \parallel b$.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Ответ: Параллельные прямые — это прямые на плоскости, которые не пересекаются. Параллельные отрезки — это отрезки, лежащие на параллельных прямых.

7. Сформулируйте аксиому параллельных прямых.

Аксиома параллельных прямых (также известная как пятый постулат Евклида в одной из его формулировок или аксиома Плейфера) гласит: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Ответ: Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит ровно одна прямая, параллельная данной.

8. Докажите, что прямая, пересекающая одну из параллельных прямых, пересекает и другую.

Это утверждение является следствием из аксиомы параллельных прямых и доказывается методом от противного.

Дано:

Прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$).

Прямая $c$ пересекает прямую $a$ в точке $M$.

Доказать:

Прямая $c$ пересекает прямую $b$.

Доказательство:

Предположим противное: прямая $c$ не пересекает прямую $b$.

Если прямая $c$ не пересекает прямую $b$, то по определению параллельных прямых, прямая $c$ параллельна прямой $b$ ($c \parallel b$).

Точка $M$ принадлежит прямой $a$ и прямой $c$. Так как прямые $a$ и $b$ параллельны, точка $M$ не лежит на прямой $b$.

Таким образом, мы имеем две прямые, $a$ и $c$, которые проходят через одну и ту же точку $M$ и обе параллельны прямой $b$.

Это противоречит аксиоме параллельных прямых, которая утверждает, что через точку, не лежащую на данной прямой (в нашем случае точка $M$ и прямая $b$), можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Следовательно, наше первоначальное предположение было неверным. Значит, прямая $c$ должна пересекать прямую $b$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство проводится методом от противного. Если предположить, что третья прямая не пересекает вторую параллельную прямую, то она ей параллельна. Тогда через точку пересечения с первой прямой проходят две разные прямые, параллельные второй, что противоречит аксиоме параллельных прямых.