Страница 19 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.24. Начертите неразвернутый угол $(ab)$. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла.

Для решения задачи выполним последовательно все требуемые действия.

1. Начертите неразвернутый угол (ab).

Неразвернутый угол — это угол, градусная мера которого отличается от $180^\circ$. Он представляет собой геометрическую фигуру, состоящую из точки (вершины) и двух лучей (сторон), исходящих из этой точки. Начертим угол с вершиной в точке $O$ и сторонами, которые являются лучами $a$ и $b$.

2. Отметьте две точки внутри этого угла, две точки вне этого угла и две точки на сторонах угла.

Теперь отметим требуемые точки на плоскости относительно построенного угла:

• две точки внутри этого угла

  Внутренняя область угла — это часть плоскости, заключенная между его сторонами. Точки, принадлежащие этой области, называются внутренними. Отметим точки $C$ и $D$ внутри угла.

• две точки вне этого угла

  Внешняя область угла — это вся остальная часть плоскости, которая не является ни внутренней областью, ни сторонами угла. Отметим точки $E$ и $F$ вне угла.

• две точки на сторонах угла

  Это точки, которые лежат непосредственно на лучах $a$ или $b$. Отметим точку $A$ на стороне $a$ и точку $B$ на стороне $b$. Стоит отметить, что вершина $O$ также принадлежит обеим сторонам.

Итоговый чертеж, на котором выполнены все построения:

На данном чертеже:

• Угол $(ab)$ с вершиной $O$ является неразвернутым.
• Точки $C$ и $D$ (синие) — две точки, расположенные внутри угла.
• Точки $E$ и $F$ (красные) — две точки, расположенные вне угла.
• Точки $A$ и $B$ (зеленые) — две точки, расположенные на сторонах угла.

Ответ: Чертеж с необходимыми построениями и обозначениями представлен выше.

1.25. Начертите неразвернутый угол. Отметьте точки $A$, $B$, $C$ и $D$ так, чтобы все точки отрезка $AB$ лежали внутри угла, а все точки отрезка $CD$ лежали вне угла.

Для решения задачи сначала начертим неразвернутый угол. Неразвернутый угол — это угол, градусная мера которого отлична от $180^\circ$ и $0^\circ$. Этот угол делит плоскость на две части: внутреннюю область и внешнюю.

чтобы все точки отрезка AB лежали внутри угла

Чтобы все точки отрезка $AB$ лежали внутри угла, необходимо и достаточно, чтобы его концы — точки $A$ и $B$ — находились во внутренней области этого угла. Внутренняя область угла является выпуклым множеством, поэтому если две точки принадлежат этой области, то и весь соединяющий их отрезок также будет полностью в ней расположен. На чертеже ниже точки $A$ и $B$ отмечены внутри угла.

а все точки отрезка CD лежали вне угла

Чтобы все точки отрезка $CD$ лежали вне угла, нужно расположить его концы — точки $C$ и $D$ — во внешней области угла. При этом важно проследить, чтобы сам отрезок $CD$ не пересекал стороны угла и не заходил в его внутреннюю область. Простейший способ этого добиться — расположить точки $C$ и $D$ в одной и той же части внешней области, как показано на приложенном чертеже.

Наглядное графическое решение представлено на чертеже:

На рисунке изображен неразвернутый угол с вершиной в точке $O$. Точки $A$ и $B$ расположены во внутренней области угла, поэтому весь отрезок $AB$ (синего цвета) также лежит внутри. Точки $C$ и $D$ расположены во внешней области, и отрезок $CD$ (красного цвета) не пересекает ни стороны угла, ни его внутреннюю область, следовательно, он полностью лежит вне угла.

Ответ: Для решения задачи следует начертить неразвернутый угол, затем отметить точки $A$ и $B$ внутри этого угла, а точки $C$ и $D$ — вне этого угла. При этом точки $C$ и $D$ нужно расположить так, чтобы отрезок $CD$ не пересекал внутреннюю область угла. Приведенный выше чертеж является примером такого построения.

1.26. Начертите неразвернутый угол $AOB$ и проведите:

1) луч $OC$, который делит угол $AOB$ на две части;

2) луч $OD$, который не делит угол $AOB$ на два угла.

Для решения задачи сначала начертим произвольный неразвернутый угол $\angle AOB$. Неразвернутым называется угол, градусная мера которого больше $0^\circ$ и меньше $180^\circ$. Угол образован лучами $OA$ и $OB$, выходящими из общей вершины $O$.

Теперь выполним требуемые построения.

1) луч ОС, который делит угол АОВ на две части;

Чтобы луч $OC$ делил угол $\angle AOB$ на две части, он должен исходить из вершины $O$ и проходить между его сторонами $OA$ и $OB$. Говорят, что луч проходит во внутренней области угла. При таком построении исходный угол $\angle AOB$ разделяется на два новых угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$. Сумма их градусных мер будет равна градусной мере исходного угла: $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.

На чертеже луч $OC$ (показан синим пунктиром) делит угол $\angle AOB$ на два угла: $\angle AOC$ и $\angle COB$.

Ответ: луч $OC$ должен выходить из вершины $O$ и проходить во внутренней области угла $\angle AOB$.

2) луч OD, который не делит угол АОВ на два угла.

Луч $OD$ не делит угол $\angle AOB$ на два угла, если он не проходит между его сторонами. Это возможно в двух случаях:

1. Луч $OD$ совпадает с одной из сторон угла (с лучом $OA$ или $OB$).

2. Луч $OD$ проходит во внешней области угла $\angle AOB$.

Проиллюстрируем второй случай. Проведем луч $OD$ из вершины $O$ так, чтобы он находился вне угла $\angle AOB$.

На этом чертеже луч $OD$ (показан синим пунктиром) не разделяет угол $\angle AOB$. Угол $\angle AOB$ остается единым целым, а луч $OD$ образует новые углы с его сторонами.

Ответ: луч $OD$ не делит угол $\angle AOB$, если он совпадает с одной из его сторон ($OA$ или $OB$) или проходит во внешней области данного угла.

1.27. Сколько неразвернутых углов образуется при пересечении двух прямых?

При пересечении двух различных прямых образуется одна точка пересечения. Из этой точки выходят четыре луча, которые являются частями исходных прямых. Эти лучи попарно образуют углы.

Давайте определим, что такое неразвернутый угол. Развернутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой, а его градусная мера равна $180^\circ$. Соответственно, неразвернутый угол — это любой угол, чья мера не равна $180^\circ$.

При пересечении двух прямых образуются четыре основных угла вокруг точки пересечения. Обозначим их $\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4$.

Каждый из этих четырех углов строго меньше $180^\circ$. Если бы один из углов был равен $180^\circ$, это означало бы, что две прямые не пересекаются, а совпадают, что противоречит условию задачи. Поскольку мера каждого из этих четырех углов меньше $180^\circ$, все они являются неразвернутыми.

Также можно рассмотреть углы, образованные парами смежных углов (например, $\angle 1 + \angle 2$). Такие углы являются развернутыми, так как их сумма равна $180^\circ$. В стандартном понимании вопроса их не учитывают. Обычно под "углами, образованными при пересечении" понимают именно четыре основных, меньших $180^\circ$ угла.

Таким образом, при пересечении двух прямых образуется 4 неразвернутых угла. Это две пары вертикальных углов, которые равны между собой.

Ответ: 4.

1.28. Выразите в градусах $135'$; $500'$.

Для перевода угловых минут (обозначаются знаком ′) в градусы (обозначаются знаком °) используется основное соотношение: $1^\circ = 60'$. Это означает, что один градус состоит из 60 угловых минут. Чтобы выполнить обратное преобразование, то есть выразить величину угла в градусах, зная его значение в минутах, необходимо разделить количество минут на 60.

135'

Чтобы перевести 135 минут в градусы, нужно разделить 135 на 60. Запишем это в виде дроби: $135' = \left(\frac{135}{60}\right)^\circ$

Далее, сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 15: $\frac{135}{60} = \frac{135 \div 15}{60 \div 15} = \frac{9}{4}$

Теперь преобразуем неправильную дробь $\frac{9}{4}$ в десятичную дробь, разделив 9 на 4: $\frac{9}{4} = 2,25$

Таким образом, 135 угловых минут равны 2,25 градуса.

Ответ: $2,25^\circ$

500'

Аналогично, для перевода 500 минут в градусы, разделим 500 на 60: $500' = \left(\frac{500}{60}\right)^\circ$

Сократим эту дробь. Сначала можно разделить числитель и знаменатель на 10, а затем на 2: $\frac{500}{60} = \frac{50}{6} = \frac{25}{3}$

Полученная дробь $\frac{25}{3}$ является несократимой. Представим ее в виде смешанного числа, выделив целую часть. Для этого разделим 25 на 3 с остатком: $25 \div 3 = 8$ и остаток $1$. Следовательно: $\frac{25}{3} = 8 \frac{1}{3}$

Таким образом, 500 угловых минут равны $8 \frac{1}{3}$ градуса.

Ответ: $8 \frac{1}{3}^\circ$

1.29. Выразите в минутах $6^\circ 15'$; $2^\circ$; $11,5^\circ$.

Чтобы выразить угловые величины в минутах, воспользуемся основным соотношением: в одном градусе ($1^\circ$) содержится 60 угловых минут ($60'$).

6°15'

Данная величина состоит из градусов и минут. Сначала переведем градусы в минуты, а затем прибавим к результату оставшиеся минуты.

1. Переводим градусы в минуты: $6^\circ = 6 \cdot 60' = 360'$.

2. Складываем полученное значение с уже имеющимися минутами: $360' + 15' = 375'$.

Ответ: $375'$.

2°

Для перевода градусов в минуты необходимо умножить количество градусов на 60.

$2^\circ = 2 \cdot 60' = 120'$.

Ответ: $120'$.

11,5°

Для перевода десятичного значения градусов в минуты также умножаем это значение на 60.

$11,5^\circ = 11,5 \cdot 60' = 690'$.

Ответ: $690'$.

1.30. Выполните действия: 1) $5^\circ 48' + 7^\circ 35'$; 2) $32^\circ 17' - 8^\circ 45'$.

1) Для того чтобы выполнить сложение $5^\circ 48' + 7^\circ 35'$, необходимо сложить градусы с градусами, а минуты с минутами.

Сложим минуты: $48' + 35' = 83'$.

Сложим градусы: $5^\circ + 7^\circ = 12^\circ$.

В результате получаем $12^\circ 83'$.

Поскольку $1^\circ = 60'$, мы можем преобразовать минуты, превышающие 60, в градусы.

$83' = 60' + 23' = 1^\circ 23'$.

Теперь добавим этот $1^\circ$ к имеющимся $12^\circ$:

$12^\circ + 1^\circ 23' = 13^\circ 23'$.

Ответ: $13^\circ 23'$.

2) Для того чтобы выполнить вычитание $32^\circ 17' - 8^\circ 45'$, необходимо вычесть градусы из градусов, а минуты из минут.

Мы видим, что количество минут в уменьшаемом ($17'$) меньше, чем в вычитаемом ($45'$). Поэтому необходимо "занять" один градус у $32^\circ$ и представить его в виде минут.

$1^\circ = 60'$.

Представим $32^\circ 17'$ в другом виде:

$32^\circ 17' = 31^\circ + 1^\circ 17' = 31^\circ + 60' + 17' = 31^\circ 77'$.

Теперь выполним вычитание: $31^\circ 77' - 8^\circ 45'$.

Вычитаем минуты: $77' - 45' = 32'$.

Вычитаем градусы: $31^\circ - 8^\circ = 23^\circ$.

В результате получаем $23^\circ 32'$.

Ответ: $23^\circ 32'$.

1.31. На рисунке 1.26 изображены лучи с общим началом O.

1) Найдите градусные меры углов AOX, BOX, AOB, COB, DOX.

2) Назовите углы, равные $20^\circ$.

3) Назовите все углы со стороной OA и найдите их градусные меры.

Рис. 1.26

1) Для нахождения градусных мер углов воспользуемся транспортиром, изображенным на рисунке. Луч $OX$ совпадает с нулевой отметкой транспортира.

• Угол $AOX$: луч $OA$ указывает на отметку $40°$. Таким образом, градусная мера угла $AOX$ равна $40°$. $\angle AOX = 40°$.

• Угол $BOX$: луч $OB$ указывает на отметку $70°$. Таким образом, градусная мера угла $BOX$ равна $70°$. $\angle BOX = 70°$.

• Угол $AOB$: этот угол является разностью между углами $BOX$ и $AOX$. $\angle AOB = \angle BOX - \angle AOX = 70° - 40° = 30°$.

• Угол $COB$: луч $OC$ указывает на отметку $90°$. Этот угол является разностью между углами $COX$ и $BOX$. $\angle COB = \angle COX - \angle BOX = 90° - 70° = 20°$.

• Угол $DOX$: луч $OD$ указывает на отметку $130°$. Таким образом, градусная мера угла $DOX$ равна $130°$. $\angle DOX = 130°$.

Ответ: $\angle AOX = 40°$, $\angle BOX = 70°$, $\angle AOB = 30°$, $\angle COB = 20°$, $\angle DOX = 130°$.

2) Чтобы найти углы, равные $20°$, вычислим градусные меры углов между всеми соседними лучами и другими возможными парами.

Положения лучей на транспортире: $OX(0°), OA(40°), OB(70°), OC(90°), OD(130°)$.

• $\angle AOB = 70° - 40° = 30°$

• $\angle BOC = 90° - 70° = 20°$

• $\angle COD = 130° - 90° = 40°$

Из всех возможных углов, образованных данными лучами, только угол $COB$ имеет градусную меру $20°$.

Ответ: $\angle COB$.

3) Назовем все углы, у которых одной из сторон является луч $OA$, и найдем их градусные меры. Второй стороной для этих углов могут быть лучи $OX, OB, OC, OD, OZ$.

• Угол с лучами $OA$ и $OX$: $\angle AOX = 40° - 0° = 40°$.

• Угол с лучами $OA$ и $OB$: $\angle AOB = 70° - 40° = 30°$.

• Угол с лучами $OA$ и $OC$: $\angle AOC = 90° - 40° = 50°$.

• Угол с лучами $OA$ и $OD$: $\angle AOD = 130° - 40° = 90°$.

• Угол с лучами $OA$ и $OZ$ (луч $OZ$ соответствует отметке $180°$): $\angle AOZ = 180° - 40° = 140°$.

Ответ: $\angle AOX = 40°$, $\angle AOB = 30°$, $\angle AOC = 50°$, $\angle AOD = 90°$, $\angle AOZ = 140°$.

1.32. Луч $a$ проходит между сторонами угла $(cd)$. Найдите $\angle(cd)$, если:

1) $\angle(ac) = 35^\circ, \angle(ad) = 75^\circ$;

2) $\angle(ac) = 57^\circ, \angle(ad) = 62^\circ$;

3) $\angle(ac) = 94^\circ, \angle(ad) = 85^\circ$.

1) По условию задачи, луч a проходит между сторонами угла (cd). Согласно аксиоме измерения углов, если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. Таким образом, формула для вычисления искомого угла: $\angle(cd) = \angle(ac) + \angle(ad)$.

Подставляем заданные значения: $\angle(ac) = 35^\circ$ и $\angle(ad) = 75^\circ$.

Выполняем сложение: $\angle(cd) = 35^\circ + 75^\circ = 110^\circ$.

Ответ: $110^\circ$.

2) Аналогично первому пункту, для нахождения величины угла $\angle(cd)$ необходимо сложить градусные меры углов $\angle(ac)$ и $\angle(ad)$.

Даны значения: $\angle(ac) = 57^\circ$ и $\angle(ad) = 62^\circ$.

Вычисляем сумму: $\angle(cd) = 57^\circ + 62^\circ = 119^\circ$.

Ответ: $119^\circ$.

3) Используем тот же принцип сложения углов. Угол $\angle(cd)$ равен сумме углов $\angle(ac)$ и $\angle(ad)$.

Даны значения: $\angle(ac) = 94^\circ$ и $\angle(ad) = 85^\circ$.

Находим сумму: $\angle(cd) = 94^\circ + 85^\circ = 179^\circ$.

Ответ: $179^\circ$.

1.33. Может ли луч $PK$ проходить между сторонами угла $QPR$, если $\angle QPR = 70^{\circ}$, $\angle QPK = 80^{\circ}$?

Допустим, что луч $PK$ проходит между сторонами угла $QPR$.

Согласно аксиоме измерения углов, если луч делит угол на два угла, то градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих двух углов. В нашем случае это бы означало, что $\angle QPR = \angle QPK + \angle KPR$.

Из этого следует, что градусная мера любого из углов, на которые делится исходный угол, должна быть меньше градусной меры самого исходного угла. То есть, должно выполняться неравенство:

$\angle QPK < \angle QPR$

Теперь подставим в это неравенство значения, данные в условии задачи:

$\angle QPR = 70^\circ$

$\angle QPK = 80^\circ$

Мы получаем $80^\circ < 70^\circ$, что является неверным.

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное допущение было неверным. Луч $PK$ не может проходить между сторонами угла $QPR$, так как часть не может быть больше целого.

Ответ: нет, не может.