Страница 18 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

П3. 1. Проведите прямую, отметьте на ней точки $A$ и $B$ и на отрезке $AB$ отметьте точку $C$. Среди лучей $AB$, $BC$, $CA$, $AC$ и $BA$ найдите пары совпадающих лучей.

2. Постройте с помощью транспортира углы, равные $90^\circ$, $50^\circ$, $120^\circ$.

3. Постройте на глаз углы, равные $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$. С помощью транспортира проверьте точность построения.

4. Приведите примеры прямых углов, находящихся в вашем классе. По возможности измерьте эти углы транспортиром или угольником. Можно ли найти здесь пример развернутого угла? Обоснуйте ответ.

5. Постройте рисунки, соответствующие аксиомам I – VII. Сравните их с соответствующими рисунками одноклассников. В качестве вывода сформулируйте аксиомы, соответствующие вашим рисункам.

1. Сначала проведем прямую и отметим на ней две различные точки $A$ и $B$.

Затем на отрезке $AB$ (то есть между точками $A$ и $B$) отметим точку $C$. Точки на прямой будут расположены в порядке: $A$, $C$, $B$.

Теперь рассмотрим указанные лучи. Луч определяется начальной точкой и направлением. Два луча совпадают, если у них одна и та же начальная точка и одно и то же направление.

• Луч $AB$: начинается в точке $A$ и проходит через точку $B$. Его направление - вправо от точки $A$.
• Луч $BC$: начинается в точке $B$ и проходит через точку $C$. Его направление - влево от точки $B$.
• Луч $CA$: начинается в точке $C$ и проходит через точку $A$. Его направление - влево от точки $C$.
• Луч $AC$: начинается в точке $A$ и проходит через точку $C$. Его направление - вправо от точки $A$.
• Луч $BA$: начинается в точке $B$ и проходит через точку $A$. Его направление - влево от точки $B$.

Найдем пары совпадающих лучей:

1. Сравним лучи с началом в точке $A$: $AB$ и $AC$. Оба луча начинаются в точке $A$ и направлены в одну и ту же сторону (вправо). Следовательно, лучи $AB$ и $AC$ совпадают.
2. Сравним лучи с началом в точке $B$: $BC$ и $BA$. Оба луча начинаются в точке $B$ и направлены в одну и ту же сторону (влево). Следовательно, лучи $BC$ и $BA$ совпадают.
3. Луч $CA$ начинается в точке $C$. Других лучей с началом в точке $C$ в списке нет, поэтому у него нет совпадающей пары.

Ответ: Парами совпадающих лучей являются ($AB$, $AC$) и ($BC$, $BA$).

2. Для построения угла заданной градусной меры с помощью транспортира необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольный луч с началом в точке $O$. Этот луч будет одной из сторон будущего угла.
2. Приложить транспортир так, чтобы его центр совпал с началом луча (точкой $O$), а сам луч прошел через отметку $0^\circ$ на шкале транспортира.
3. Найти на той же шкале транспортира отметку, соответствующую заданной величине угла (например, $90^\circ$, $50^\circ$ или $120^\circ$).
4. Поставить точку (назовем ее $K$) напротив этой отметки.
5. Снять транспортир и с помощью линейки провести второй луч из точки $O$ через точку $K$.

Полученный угол будет иметь заданную градусную меру.

• Для угла $90^\circ$: после выполнения шагов получится прямой угол.
• Для угла $50^\circ$: получится острый угол.
• Для угла $120^\circ$: получится тупой угол.

Ответ: Построение углов $90^\circ$, $50^\circ$, $120^\circ$ выполняется по описанному выше алгоритму с использованием транспортира и линейки.

3. Это задание выполняется в два этапа:

1. Построение "на глаз":

   Нужно нарисовать три угла, стараясь интуитивно воспроизвести их величину.

   • Угол $45^\circ$: легче всего представить, нарисовав прямой угол ($90^\circ$, как угол в тетрадном листе) и разделив его примерно пополам.
   • Угол $30^\circ$: это одна треть от прямого угла. Можно представить прямой угол и разделить его на три равные части. $30^\circ$ - это первая часть. Он заметно "уже", чем $45^\circ$.
   • Угол $60^\circ$: это две трети от прямого угла или угол в равностороннем треугольнике. Он "шире", чем $45^\circ$, но все еще является острым.

2. Проверка с помощью транспортира:

   После того как углы нарисованы, нужно измерить их с помощью транспортира. Для этого центр транспортира совмещается с вершиной нарисованного угла, одна из сторон угла совмещается с отметкой $0^\circ$. Затем по шкале смотрят, на какую отметку указывает вторая сторона угла. Полученное значение сравнивается с заданным ($30^\circ$, $45^\circ$ или $60^\circ$). Скорее всего, будут небольшие погрешности, что является нормальным для построения "на глаз".

Ответ: Построение углов "на глаз" основывается на сравнении с известными углами (например, $90^\circ$), а точность проверяется последующим измерением с помощью транспортира.

4. Примеры прямых углов ($90^\circ$) в классе:

• Углы парты или стола.
• Углы учебника, тетради или книги.
• Углы доски (меловой или маркерной).
• Углы оконной рамы и дверного проема.
• Угол между стеной и полом, а также между двумя смежными стенами.
• Прямой угол у чертежного угольника.

Измерить эти углы можно с помощью транспортира, приложив его к соответствующему углу. Также можно использовать чертежный угольник с прямым углом для проверки: если стороны угольника плотно прилегают к сторонам проверяемого угла, то этот угол прямой.

Пример развернутого угла ($180^\circ$):

Да, в классе можно найти примеры развернутого угла. Развернутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и направлены в разные стороны от вершины.

• Обоснование: Любая прямая линия образует развернутый угол в любой своей точке. Например, верхний или нижний край доски представляет собой прямой отрезок. Если мы выберем любую точку на этом крае (не на концах), то части края по обе стороны от этой точки образуют развернутый угол, равный $180^\circ$. То же самое относится к краю парты, линейки или раскрытой на $180^\circ$ книге.

Ответ: Примерами прямых углов в классе являются углы парт, книг, доски. Примером развернутого угла является край парты или доски, рассмотренный в любой его внутренней точке.

5. Ниже приведены описания рисунков и формулировки для стандартного набора аксиом планиметрии I-VII.

Аксиома I (Аксиома принадлежности)

Рисунок: Изображены две точки, обозначенные $A$ и $B$. Через эти две точки проведена одна единственная прямая линия $a$.

Формулировка аксиомы: Через любые две точки плоскости проходит прямая, и притом только одна.

Аксиома II (Аксиома расположения точек на прямой)

Рисунок: Изображена прямая линия, на которой отмечены три точки: $A$, $B$ и $C$. Точка $B$ расположена между точками $A$ и $C$.

Формулировка аксиомы: Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиома III (Аксиома разделения плоскости)

Рисунок: Изображена прямая $a$, которая делит плоскость на две части (полуплоскости). В одной полуплоскости отмечены точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ не пересекает прямую $a$. В разных полуплоскостях отмечены точки $A$ и $C$. Отрезок $AC$ пересекает прямую $a$.

Формулировка аксиомы: Прямая разделяет плоскость на две полуплоскости.

Аксиома IV (Аксиома измерения отрезков)

Рисунок: Изображен отрезок $AC$, на котором отмечена внутренняя точка $B$. Подписаны длины отрезков: $AB$, $BC$, $AC$. Рядом написана формула: $AC = AB + BC$.

Формулировка аксиомы: Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его внутренней точкой.

Аксиома V (Аксиома откладывания отрезков)

Рисунок: Изображен луч с началом в точке $O$. Отдельно показан отрезок длиной $l$. На луче от точки $O$ отложен отрезок $OA$, длина которого равна $l$.

Формулировка аксиомы: На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один.

Аксиома VI (Аксиома измерения углов)

Рисунок: Изображен угол $\angle AOC$. Между его сторонами $OA$ и $OC$ проведен луч $OB$. Подписаны углы $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle AOC$. Рядом написана формула: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$.

Формулировка аксиомы: Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен $180^\circ$. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиома VII (Аксиома откладывания углов)

Рисунок: Изображен луч $OA$ и указана полуплоскость относительно прямой, содержащей этот луч. Задана градусная мера $\alpha < 180^\circ$. В указанной полуплоскости построен луч $OB$ так, что угол $\angle AOB$ имеет меру $\alpha$.

Формулировка аксиомы: От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей $180^\circ$, и притом только один.

Ответ: Выше представлены описания рисунков и формулировки, соответствующие аксиомам геометрии с I по VII.

1. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.

2. Что такое луч (полупрямая)? Какие лучи называются дополнительными?

3. Как обозначаются лучи?

4. Какая фигура называется углом?

5. Как обозначается угол?

6. Какой угол называется развернутым?

7. Объясните, что означает выражение «Луч проходит между сторонами угла».

8. В каких единицах измеряют углы и каким инструментом пользуются при этом?

9. Сформулируйте основные свойства измерения углов.

10. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.

1. Сформулируйте основное свойство расположения точек относительно прямой на плоскости.

Основное свойство расположения точек относительно прямой (аксиома разделения плоскости) утверждает, что любая прямая делит плоскость на две непересекающиеся области, называемые полуплоскостями. Все точки, лежащие по одну сторону от прямой, образуют одну полуплоскость, а по другую — вторую. При этом выполняются следующие условия:

1. Если две точки принадлежат одной полуплоскости, то отрезок, соединяющий их, не пересекает эту прямую.

2. Если две точки принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок, соединяющий их, пересекает эту прямую.

Ответ: Любая прямая делит плоскость на две полуплоскости так, что отрезок с концами в одной полуплоскости не пересекает прямую, а с концами в разных полуплоскостях — пересекает.

2. Что такое луч (полупрямая)? Какие лучи называются дополнительными?

Луч (или полупрямая) — это часть прямой линии, которая состоит из заданной точки на этой прямой (называемой началом луча) и всех точек, лежащих по одну сторону от неё.

Дополнительными называются два луча, которые имеют общее начало, лежат на одной прямой и направлены в противоположные стороны. Вместе два дополнительных луча образуют прямую.

Ответ: Луч — это часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой. Дополнительные лучи — это два луча с общим началом, которые вместе образуют прямую.

3. Как обозначаются лучи?

Лучи обозначаются двумя способами:

1. Двумя заглавными латинскими буквами. Первая буква обозначает начало луча, а вторая — любую другую точку на этом луче (например, луч $AB$, где $A$ — начало).

2. Одной строчной (маленькой) латинской буквой (например, луч $h$).

Ответ: Одной строчной латинской буквой или двумя заглавными, где первая буква — начало луча.

4. Какая фигура называется углом?

Углом называется геометрическая фигура, которая состоит из точки — вершины угла, и двух лучей, выходящих из этой точки, — сторон угла.

Ответ: Геометрическая фигура, состоящая из точки (вершины) и двух исходящих из неё лучей (сторон).

5. Как обозначается угол?

Угол обозначают одним из следующих способов:

1. Знаком угла $\angle$ и тремя заглавными латинскими буквами, которые обозначают точки на сторонах угла и его вершину, причём буква вершины ставится в середине (например, $\angle ABC$ или $\angle CBA$).

2. Знаком угла $\angle$ и одной заглавной буквой, обозначающей его вершину, если это не вызывает неоднозначности (например, $\angle B$).

3. Знаком угла $\angle$ и строчной греческой буквой или цифрой, которой помечена его внутренняя область (например, $\angle \alpha$ или $\angle 1$).

Ответ: Тремя буквами с вершиной в центре ($\angle ABC$), одной буквой вершины ($\angle B$) или греческой буквой/цифрой ($\angle \alpha$, $\angle 1$).

6. Какой угол называется развернутым?

Развернутым углом называется угол, стороны которого являются дополнительными лучами. Иными словами, обе стороны развернутого угла лежат на одной прямой. Градусная мера развернутого угла по определению равна $180°$.

Ответ: Угол, стороны которого лежат на одной прямой. Его величина равна $180°$.

7. Объясните, что означает выражение «Луч проходит между сторонами угла».

Выражение «Луч проходит между сторонами угла» означает, что этот луч выходит из вершины данного угла и все его точки (кроме вершины) находятся во внутренней области угла. Такой луч делит исходный угол на два меньших угла. Если луч $OC$ проходит между сторонами угла $\angle AOB$, то он разбивает его на два угла $\angle AOC$ и $\angle COB$, причём сумма их градусных мер равна градусной мере угла $\angle AOB$.

Ответ: Луч исходит из вершины угла и разделяет его на два меньших угла.

8. В каких единицах измеряют углы и каким инструментом пользуются при этом?

Углы измеряют в градусах и его долях. Один градус ($1°$) — это $1/180$ часть развернутого угла. Градус делится на 60 минут ($1° = 60'$), а минута — на 60 секунд ($1' = 60''$). В высшей математике и физике также используется радианная мера угла.

Для измерения и построения углов на бумаге используют инструмент, который называется транспортир.

Ответ: Углы измеряют в градусах ($°$), минутах ($'$) и секундах ($''$) с помощью транспортира.

9. Сформулируйте основные свойства измерения углов.

1. Каждый угол имеет определенную градусную меру, которая является положительным числом. Развернутый угол равен $180°$. Равные углы имеют равные градусные меры, и наоборот, углы с равными градусными мерами равны.

2. Если луч делит угол на два угла, то градусная мера исходного угла равна сумме градусных мер этих двух углов. Например, если луч $OC$ проходит между сторонами угла $\angle AOB$, то $\angle AOB = \angle AOC + \angle COB$.

Ответ: Каждый угол имеет положительную меру (развернутый — $180°$); мера угла равна сумме мер углов, на которые он делится внутренним лучом.

10. Сформулируйте основные свойства откладывания отрезков и углов.

Свойство откладывания отрезков: на любой полупрямой (луче) от её начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один.

Свойство откладывания углов: от любого луча в заданную сторону (в заданную полуплоскость) можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей $180°$, и притом только один.

Ответ: На любом луче можно отложить только один отрезок заданной длины; от любого луча в заданную полуплоскость можно отложить только один угол заданной градусной меры (меньше $180°$).