Практические задания, страница 18 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

П3. 1. Проведите прямую, отметьте на ней точки $A$ и $B$ и на отрезке $AB$ отметьте точку $C$. Среди лучей $AB$, $BC$, $CA$, $AC$ и $BA$ найдите пары совпадающих лучей.

2. Постройте с помощью транспортира углы, равные $90^\circ$, $50^\circ$, $120^\circ$.

3. Постройте на глаз углы, равные $30^\circ$, $45^\circ$, $60^\circ$. С помощью транспортира проверьте точность построения.

4. Приведите примеры прямых углов, находящихся в вашем классе. По возможности измерьте эти углы транспортиром или угольником. Можно ли найти здесь пример развернутого угла? Обоснуйте ответ.

5. Постройте рисунки, соответствующие аксиомам I – VII. Сравните их с соответствующими рисунками одноклассников. В качестве вывода сформулируйте аксиомы, соответствующие вашим рисункам.

1. Сначала проведем прямую и отметим на ней две различные точки $A$ и $B$.

Затем на отрезке $AB$ (то есть между точками $A$ и $B$) отметим точку $C$. Точки на прямой будут расположены в порядке: $A$, $C$, $B$.

Теперь рассмотрим указанные лучи. Луч определяется начальной точкой и направлением. Два луча совпадают, если у них одна и та же начальная точка и одно и то же направление.

• Луч $AB$: начинается в точке $A$ и проходит через точку $B$. Его направление - вправо от точки $A$.
• Луч $BC$: начинается в точке $B$ и проходит через точку $C$. Его направление - влево от точки $B$.
• Луч $CA$: начинается в точке $C$ и проходит через точку $A$. Его направление - влево от точки $C$.
• Луч $AC$: начинается в точке $A$ и проходит через точку $C$. Его направление - вправо от точки $A$.
• Луч $BA$: начинается в точке $B$ и проходит через точку $A$. Его направление - влево от точки $B$.

Найдем пары совпадающих лучей:

1. Сравним лучи с началом в точке $A$: $AB$ и $AC$. Оба луча начинаются в точке $A$ и направлены в одну и ту же сторону (вправо). Следовательно, лучи $AB$ и $AC$ совпадают.
2. Сравним лучи с началом в точке $B$: $BC$ и $BA$. Оба луча начинаются в точке $B$ и направлены в одну и ту же сторону (влево). Следовательно, лучи $BC$ и $BA$ совпадают.
3. Луч $CA$ начинается в точке $C$. Других лучей с началом в точке $C$ в списке нет, поэтому у него нет совпадающей пары.

Ответ: Парами совпадающих лучей являются ($AB$, $AC$) и ($BC$, $BA$).

2. Для построения угла заданной градусной меры с помощью транспортира необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертить произвольный луч с началом в точке $O$. Этот луч будет одной из сторон будущего угла.
2. Приложить транспортир так, чтобы его центр совпал с началом луча (точкой $O$), а сам луч прошел через отметку $0^\circ$ на шкале транспортира.
3. Найти на той же шкале транспортира отметку, соответствующую заданной величине угла (например, $90^\circ$, $50^\circ$ или $120^\circ$).
4. Поставить точку (назовем ее $K$) напротив этой отметки.
5. Снять транспортир и с помощью линейки провести второй луч из точки $O$ через точку $K$.

Полученный угол будет иметь заданную градусную меру.

• Для угла $90^\circ$: после выполнения шагов получится прямой угол.
• Для угла $50^\circ$: получится острый угол.
• Для угла $120^\circ$: получится тупой угол.

Ответ: Построение углов $90^\circ$, $50^\circ$, $120^\circ$ выполняется по описанному выше алгоритму с использованием транспортира и линейки.

3. Это задание выполняется в два этапа:

1. Построение "на глаз":

   Нужно нарисовать три угла, стараясь интуитивно воспроизвести их величину.

   • Угол $45^\circ$: легче всего представить, нарисовав прямой угол ($90^\circ$, как угол в тетрадном листе) и разделив его примерно пополам.
   • Угол $30^\circ$: это одна треть от прямого угла. Можно представить прямой угол и разделить его на три равные части. $30^\circ$ - это первая часть. Он заметно "уже", чем $45^\circ$.
   • Угол $60^\circ$: это две трети от прямого угла или угол в равностороннем треугольнике. Он "шире", чем $45^\circ$, но все еще является острым.

2. Проверка с помощью транспортира:

   После того как углы нарисованы, нужно измерить их с помощью транспортира. Для этого центр транспортира совмещается с вершиной нарисованного угла, одна из сторон угла совмещается с отметкой $0^\circ$. Затем по шкале смотрят, на какую отметку указывает вторая сторона угла. Полученное значение сравнивается с заданным ($30^\circ$, $45^\circ$ или $60^\circ$). Скорее всего, будут небольшие погрешности, что является нормальным для построения "на глаз".

Ответ: Построение углов "на глаз" основывается на сравнении с известными углами (например, $90^\circ$), а точность проверяется последующим измерением с помощью транспортира.

4. Примеры прямых углов ($90^\circ$) в классе:

• Углы парты или стола.
• Углы учебника, тетради или книги.
• Углы доски (меловой или маркерной).
• Углы оконной рамы и дверного проема.
• Угол между стеной и полом, а также между двумя смежными стенами.
• Прямой угол у чертежного угольника.

Измерить эти углы можно с помощью транспортира, приложив его к соответствующему углу. Также можно использовать чертежный угольник с прямым углом для проверки: если стороны угольника плотно прилегают к сторонам проверяемого угла, то этот угол прямой.

Пример развернутого угла ($180^\circ$):

Да, в классе можно найти примеры развернутого угла. Развернутый угол — это угол, стороны которого лежат на одной прямой и направлены в разные стороны от вершины.

• Обоснование: Любая прямая линия образует развернутый угол в любой своей точке. Например, верхний или нижний край доски представляет собой прямой отрезок. Если мы выберем любую точку на этом крае (не на концах), то части края по обе стороны от этой точки образуют развернутый угол, равный $180^\circ$. То же самое относится к краю парты, линейки или раскрытой на $180^\circ$ книге.

Ответ: Примерами прямых углов в классе являются углы парт, книг, доски. Примером развернутого угла является край парты или доски, рассмотренный в любой его внутренней точке.

5. Ниже приведены описания рисунков и формулировки для стандартного набора аксиом планиметрии I-VII.

Аксиома I (Аксиома принадлежности)

Рисунок: Изображены две точки, обозначенные $A$ и $B$. Через эти две точки проведена одна единственная прямая линия $a$.

Формулировка аксиомы: Через любые две точки плоскости проходит прямая, и притом только одна.

Аксиома II (Аксиома расположения точек на прямой)

Рисунок: Изображена прямая линия, на которой отмечены три точки: $A$, $B$ и $C$. Точка $B$ расположена между точками $A$ и $C$.

Формулировка аксиомы: Из трех точек на прямой одна и только одна лежит между двумя другими.

Аксиома III (Аксиома разделения плоскости)

Рисунок: Изображена прямая $a$, которая делит плоскость на две части (полуплоскости). В одной полуплоскости отмечены точки $A$ и $B$. Отрезок $AB$ не пересекает прямую $a$. В разных полуплоскостях отмечены точки $A$ и $C$. Отрезок $AC$ пересекает прямую $a$.

Формулировка аксиомы: Прямая разделяет плоскость на две полуплоскости.

Аксиома IV (Аксиома измерения отрезков)

Рисунок: Изображен отрезок $AC$, на котором отмечена внутренняя точка $B$. Подписаны длины отрезков: $AB$, $BC$, $AC$. Рядом написана формула: $AC = AB + BC$.

Формулировка аксиомы: Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля. Длина отрезка равна сумме длин частей, на которые он разбивается любой его внутренней точкой.

Аксиома V (Аксиома откладывания отрезков)

Рисунок: Изображен луч с началом в точке $O$. Отдельно показан отрезок длиной $l$. На луче от точки $O$ отложен отрезок $OA$, длина которого равна $l$.

Формулировка аксиомы: На любом луче от его начальной точки можно отложить отрезок заданной длины, и притом только один.

Аксиома VI (Аксиома измерения углов)

Рисунок: Изображен угол $\angle AOC$. Между его сторонами $OA$ и $OC$ проведен луч $OB$. Подписаны углы $\angle AOB$, $\angle BOC$, $\angle AOC$. Рядом написана формула: $\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC$.

Формулировка аксиомы: Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен $180^\circ$. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.

Аксиома VII (Аксиома откладывания углов)

Рисунок: Изображен луч $OA$ и указана полуплоскость относительно прямой, содержащей этот луч. Задана градусная мера $\alpha < 180^\circ$. В указанной полуплоскости построен луч $OB$ так, что угол $\angle AOB$ имеет меру $\alpha$.

Формулировка аксиомы: От любого луча в заданную полуплоскость можно отложить угол с заданной градусной мерой, меньшей $180^\circ$, и притом только один.

Ответ: Выше представлены описания рисунков и формулировки, соответствующие аксиомам геометрии с I по VII.