Номер 1.20, страница 12 - гдз по геометрии 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.20. Отрезок, длина которого равна $a$, разделен произвольной точкой на два отрезка. Найдите расстояние между серединами этих отрезков.

Пусть дан отрезок, длина которого равна $a$. Обозначим его концы как точки $A$ и $B$, так что длина $AB = a$.

Выберем на этом отрезке произвольную точку $C$. Эта точка делит отрезок $AB$ на два меньших отрезка: $AC$ и $CB$.

Обозначим длину первого отрезка $AC$ через $x$. Поскольку общая длина $AB$ равна $a$, то длина второго отрезка $CB$ будет равна $a - x$.

Теперь найдем середины этих двух отрезков.

• Пусть точка $M$ — середина отрезка $AC$. Это означает, что $M$ делит $AC$ пополам, и длина отрезка $MC$ равна $\frac{x}{2}$.
• Пусть точка $N$ — середина отрезка $CB$. Это означает, что $N$ делит $CB$ пополам, и длина отрезка $CN$ равна $\frac{a - x}{2}$.

Точки на исходном отрезке располагаются в следующем порядке: $A, M, C, N, B$. Искомое расстояние — это расстояние между точками $M$ и $N$, то есть длина отрезка $MN$.

Отрезок $MN$ состоит из двух примыкающих друг к другу отрезков: $MC$ и $CN$. Следовательно, его длина равна сумме их длин: $MN = MC + CN$

Подставим известные нам выражения для длин $MC$ и $CN$: $MN = \frac{x}{2} + \frac{a - x}{2}$

Сложим дроби, приведя их к общему знаменателю: $MN = \frac{x + (a - x)}{2} = \frac{x + a - x}{2} = \frac{a}{2}$

Как видно из результата, расстояние между серединами полученных отрезков не зависит от положения точки $C$ (то есть от значения $x$) и всегда равно половине длины исходного отрезка $a$.

Ответ: $\frac{a}{2}$